zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Теория функций комплексного переменного

Теория функций комплексного переменного

Общий курс


Теория функций комплексного переменного. Составитель В.Н.Старков
Методы теории функции комплексного переменного. Составители: Ю.М.Даль, К.Ф.Черных, М.А.Греков

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Старков В.Н.

Учебная литература

  1. Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
  2. Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
  3. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1984.- 320 с.
  4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Физматгиз, 1974.- 542 с.
  5. Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению.- М.; Л., 1951.- 256 с.
  6. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений.- М.: ИЛ, 1963.- 406 с.
  7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- M.: Наука, 1965.- 716 с.
  8. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций.- 1977.- 320 с.
  9. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1977.- 444 с.
  10. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1980.- 336 с.
  11. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
  12. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3, ч.2.- М.: Наука, 1974.- 672 с.
  13. Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения.-М.: Высшая школа, 1988.
  14. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.1,2.- М.: ИЛ, 1962.
  15. Фукс Б.А., Левин В.И. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.- М.; Л.: Наука, 1951.- 308 с.
  16. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.- М.: Наука, 1969.- 576 с.
  17. Шостак Р.Я. Операционное исчисление.- М 1968.- 192 с.

Глава 1. Комплексные числа и действия над ними

1.1. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
1.3. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в различных формах.
1.4. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
1.5. Понятие расширенной комплексной плоскости. Стереографическая проекция. Сфера Римана.

Глава 2. Функции комплексного переменного

2.1. Множества точек на плоскости. Кривая Жордана. Односвязные и многосвязные области.
2.2. Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции.
2.3. Производная и дифференциал. Правила дифференцирования.
2.4. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитичность (регулярность) функции в точке и области.
2.5. Вещественная и мнимая части аналитической функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

Глава 3. Конформные отображения

3.1. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного.
3.2. Определение конформного отображения.
3.3. Линейная функция.
3.4. Инверсия.
3.5. Дробно-линейная функция.
3.6. Целая степенная функция.
3.7. Однолистность комплексной функции. Поверхность Римана. Понятие полной аналитической функции.
3.8. Радикал.
3.9. Показательная функция.
3.10. Логарифмическая функция.
3.11. Функция Жуковского. Применение функции Жуковского к задачам обтекания.
3.12. Тригонометрические функции комплексного переменного.
3.13. Обратные тригонометрические функции и гиперболические функции комплексного переменного.
3.14. Основные задачи и принципы (соответствия границ и соответствия областей) теории конформных отображений. Теорема Римана.

Глава 4. Интегрирование функций комплексного переменного

4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его свойства. Теорема об оценке.
4.2. Интегральная теорема Коши и ее следствия.
4.3. Теорема о первообразной.
4.4. Интегральная формула Коши.
4.5. Принцип максимума модуля аналитической функции.
4.6. Производные высших порядков от функций комплексного переменного.
4.7. Неравенство Коши и теорема Лиувилля.
4.8. Теорема Морера.
4.9. Понятие аналитического продолжения. Принцип непрерывного продолжения. Теорема единственности аналитической функции.

Глава 5. Представление аналитических функций рядами

5.1. Последовательности комплексных чисел, теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные теоремы теории пределов. Критерий Коши.
5.2. Ряды комплексных чисел. Абсолютная и условная сходимость ряда.
5.3. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда.
5.4. Степенные ряды. Теоремы Абеля о сходимости степенного ряда.
5.5. Непрерывность и аналитичность суммы степенных рядов.
5.6. Ряд Тейлора. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Разложения элементарных функций в степенные ряды.
5.7. Примеры построения аналитического продолжения с помощью степенных рядов.
5.8. Ряд Лорана. Теорема Лорана.
5.9. Изолированные особые точки, их классификация с помощью ряда Лорана. Нули аналитических функций, связь между нулями и полюсами.
5.10. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса о поведении аналитической функции вблизи существенно особой точки.
5.11. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (случаи устранимой точки, полюсов и существенно особой точки).
5.12. Понятие целой и мероморфной функции.

Глава 6. Вычеты функций и их применение

6.1. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах.
6.2. Вычисление вычетов в конечных особых точках.
6.3. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о сумме вычетов в конечном числе особых точек.
6.4. Лемма Жордана.
6.5. Теорема о вычислении интегралов с помощью вычетов.
6.6. Вычисление интеграла в случае, когда особые точки лежат на пути интегрирования.
6.7. Логарифмическая производная функции и ее вычеты.
6.8. Принцип аргумента аналитической функции.
6.9. Теорема Руше и ее следствие (основная теорема алгебры).
6.10. Применение принципа аргумента к вопросам устойчивости. Критерий Михайлова.

Глава 7. Операционное исчисление

7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойство линейности.
7.2. Функция Хевисайда. Таблица изображений основных функций.
7.3. Теорема о существовании изображения.
7.4. Определение оригинала по изображению. Формула Меллина.
7.5. Первая и вторая теоремы разложения.
7.6. Условия существования оригинала. Теорема обращения.
7.7. Теорема подобия и теорема запаздывания.
7.8. Теорема смещения и теорема упреждения.
7.9. Теорема умножения изображений.
7.10. Теорема умножения оригиналов.
7.11. Изображения периодических оригиналов.
7.12. Дифференцирование оригиналов и интегрирование оригиналов.
7.13. Дифференцирование изображения и интегрирование изображения.
7.14. Применение преобразования Лапласа к вычислению несобственных интегралов.
7.15. Интегрирование ОДУ с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа.
7.16. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений.
7.17. Применение интеграла Дюамеля к интегрированию ОДУ.
7.18. Интегрирование ОДУ с переменными (функциональными) коэффициентами.
7.19. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях.
7.20. Интегрирование ОДУ, содержащих в правой части функцию Хевисайда.
7.21. Интегрирование ОДУ с запаздывающим аргументом с помощью преобразования Лапласа.
7.22. Решение интегральных уравнений Вольтерра с помощью преобразования Лапласа.
7.23. Решение нестационарных задач математической физики с помощью операционного метода.

Основная литература

  1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
  2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к задачам математической физики. М.: Наука, 1957.
  3. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М.: Наука, 1964.
  4. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
  5. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.3, ч.2. М.: Наука, 1969.
  6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.
1. Комплексные числа и действия над комплексными числами. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел. Извлечение корня из комплексного числа. Бесконечно удалённая точка. Стереографическая проекция. Сфера Римана.
2. Функции комплексного переменного. Геометрические понятия. Непрерывность. Дифференцируемость и аналитичность Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Голоморфные функции. Многозначные аналитические функции. Ветви аналитической функции. Римановы поверхности.
3. Элементарные функции. Функции w=zn, w=n√z, w=½(z+1/z). Показательная функция и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функции. Общая степенная функция w=zγ

Дополнительная литература

  1. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.
  2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970.
4. Интегрирование функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного. Интеграл Коши. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области. Формула Коши и теорема о среднем.
5. Интеграл типа Коши. Вычисление интегралов типа Коши. Значение интеграла типа Коши на линии интегрирования. Главное значение интеграла по Коши. Граничные значения интеграла типа Коши. Формулы Сохоцкого-Племеля. Интегралы типа Коши по бесконечной прямой. Принцип максимума и лемма Шварца. Интегралы, зависящие от параметра. Аналитическая зависимость от параметра. Существование высших производных. Аналитическое продолжение. Многозначные функции

Дополнительная литература

  1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966.
  2. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч.1,2. 1999.
6. Представление аналитических функций рядами. Бесконечные числовые ряды с комплексными членами. Функциональные ряды. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Теорема единственности. Ряд Лорана. Особые точки, их классификация. Бесконечно удаленная точка. Теорема о вычетах. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.
7. Конформные отображения. Свойства конформного отображения. Простейшие конформные отображения. Примеры: целая степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, функция Жуковского, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции. Интеграл Кристоффеля-Шварца.

Дополнительная литература

  1. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М. Наука, 1967.
  2. Коппенфельс В., Штальман Ц. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963.
8. Краевые задачи теории функций комплексного переменного и их приложения. Задача Римана-Гильберта. Гармонические функции. Задача Дирихле. Бигармоническое уравнение. Формула Гурса. Плоские задачи теории упругости. Волновое уравнение и аналитические функции. Плоское установившееся течение жидкости. Дифракция плоских волн. Задачи гидродинамики и газовой динамики. Кумулятивный заряд. Плоское электростатическое поле.

Дополнительная литература

  1. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Гостезхиздат, 1950.
  2. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
9. Операционное исчисление и его приложения. Преобразование Лапласа. Свойства преобразования Лапласа. Дельта-функция Дирака, функция Хевисайда. Таблица изображений основных функций. Определение оригинала по изображению. Теоремы умножения. Теоремы разложения. Дифференцирование и интегрирование оригиналов. Применение преобразования Лапласа к вычислению несобственных интегралов. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений. Решение интегральных уравнений Вольтерра с помощью преобразования Лапласа. Расчёт электрических контуров. Расчет длинных электрических линий.

Дополнительная литература

  1. Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: Гостехиздат, 1948.
  2. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965.
  3. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Наука, 1968.