Теория функций комплексного переменного
Общий курс
Теория функций комплексного переменного. Составитель В.Н.Старков
Методы теории функции комплексного переменного. Составители: Ю.М.Даль, К.Ф.Черных, М.А.Греков
Учебная литература
- Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
- Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
- Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1984.- 320 с.
- Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Физматгиз, 1974.- 542 с.
- Диткин В.А., Кузнецов П.И. Справочник по операционному исчислению.- М.; Л., 1951.- 256 с.
- Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений.- М.: ИЛ, 1963.- 406 с.
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- M.: Наука, 1965.- 716 с.
- Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций.- 1977.- 320 с.
- Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1977.- 444 с.
- Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1980.- 336 с.
- Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.3, ч.2.- М.: Наука, 1974.- 672 с.
- Соломенцев Е.Д. Функции комплексного переменного и их применения.-М.: Высшая школа, 1988.
- Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.1,2.- М.: ИЛ, 1962.
- Фукс Б.А., Левин В.И. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения.- М.; Л.: Наука, 1951.- 308 с.
- Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ.- М.: Наука, 1969.- 576 с.
- Шостак Р.Я. Операционное исчисление.- М 1968.- 192 с.
Глава 1. Комплексные числа и действия над ними
1.1. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
1.3. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в различных формах.
1.4. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
1.5. Понятие расширенной комплексной плоскости. Стереографическая проекция. Сфера Римана.
Глава 2. Функции комплексного переменного
2.1. Множества точек на плоскости. Кривая Жордана. Односвязные и многосвязные области.2.2. Определение функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции.
2.3. Производная и дифференциал. Правила дифференцирования.
2.4. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Аналитичность (регулярность) функции в точке и области.
2.5. Вещественная и мнимая части аналитической функции. Связь аналитических функций с гармоническими.
Глава 3. Конформные отображения
3.1. Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного.3.2. Определение конформного отображения.
3.3. Линейная функция.
3.4. Инверсия.
3.5. Дробно-линейная функция.
3.6. Целая степенная функция.
3.7. Однолистность комплексной функции. Поверхность Римана. Понятие полной аналитической функции.
3.8. Радикал.
3.9. Показательная функция.
3.10. Логарифмическая функция.
3.11. Функция Жуковского. Применение функции Жуковского к задачам обтекания.
3.12. Тригонометрические функции комплексного переменного.
3.13. Обратные тригонометрические функции и гиперболические функции комплексного переменного.
3.14. Основные задачи и принципы (соответствия границ и соответствия областей) теории конформных отображений. Теорема Римана.
Глава 4. Интегрирование функций комплексного переменного
4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его свойства. Теорема об оценке.4.2. Интегральная теорема Коши и ее следствия.
4.3. Теорема о первообразной.
4.4. Интегральная формула Коши.
4.5. Принцип максимума модуля аналитической функции.
4.6. Производные высших порядков от функций комплексного переменного.
4.7. Неравенство Коши и теорема Лиувилля.
4.8. Теорема Морера.
4.9. Понятие аналитического продолжения. Принцип непрерывного продолжения. Теорема единственности аналитической функции.
Глава 5. Представление аналитических функций рядами
5.1. Последовательности комплексных чисел, теорема Больцано-Вейерштрасса. Основные теоремы теории пределов. Критерий Коши.5.2. Ряды комплексных чисел. Абсолютная и условная сходимость ряда.
5.3. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда.
5.4. Степенные ряды. Теоремы Абеля о сходимости степенного ряда.
5.5. Непрерывность и аналитичность суммы степенных рядов.
5.6. Ряд Тейлора. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Разложения элементарных функций в степенные ряды.
5.7. Примеры построения аналитического продолжения с помощью степенных рядов.
5.8. Ряд Лорана. Теорема Лорана.
5.9. Изолированные особые точки, их классификация с помощью ряда Лорана. Нули аналитических функций, связь между нулями и полюсами.
5.10. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса о поведении аналитической функции вблизи существенно особой точки.
5.11. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (случаи устранимой точки, полюсов и существенно особой точки).
5.12. Понятие целой и мероморфной функции.
Глава 6. Вычеты функций и их применение
6.1. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах.6.2. Вычисление вычетов в конечных особых точках.
6.3. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о сумме вычетов в конечном числе особых точек.
6.4. Лемма Жордана.
6.5. Теорема о вычислении интегралов с помощью вычетов.
6.6. Вычисление интеграла в случае, когда особые точки лежат на пути интегрирования.
6.7. Логарифмическая производная функции и ее вычеты.
6.8. Принцип аргумента аналитической функции.
6.9. Теорема Руше и ее следствие (основная теорема алгебры).
6.10. Применение принципа аргумента к вопросам устойчивости. Критерий Михайлова.
Глава 7. Операционное исчисление
7.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойство линейности.7.2. Функция Хевисайда. Таблица изображений основных функций.
7.3. Теорема о существовании изображения.
7.4. Определение оригинала по изображению. Формула Меллина.
7.5. Первая и вторая теоремы разложения.
7.6. Условия существования оригинала. Теорема обращения.
7.7. Теорема подобия и теорема запаздывания.
7.8. Теорема смещения и теорема упреждения.
7.9. Теорема умножения изображений.
7.10. Теорема умножения оригиналов.
7.11. Изображения периодических оригиналов.
7.12. Дифференцирование оригиналов и интегрирование оригиналов.
7.13. Дифференцирование изображения и интегрирование изображения.
7.14. Применение преобразования Лапласа к вычислению несобственных интегралов.
7.15. Интегрирование ОДУ с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа.
7.16. Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений.
7.17. Применение интеграла Дюамеля к интегрированию ОДУ.
7.18. Интегрирование ОДУ с переменными (функциональными) коэффициентами.
7.19. О функциях с запаздывающим аргументом и их изображениях.
7.20. Интегрирование ОДУ, содержащих в правой части функцию Хевисайда.
7.21. Интегрирование ОДУ с запаздывающим аргументом с помощью преобразования Лапласа.
7.22. Решение интегральных уравнений Вольтерра с помощью преобразования Лапласа.
7.23. Решение нестационарных задач математической физики с помощью операционного метода.
Основная литература
- Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
- Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к задачам математической физики. М.: Наука, 1957.
- Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М.: Наука, 1964.
- Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.3, ч.2. М.: Наука, 1969.
- Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.
2. Функции комплексного переменного. Геометрические понятия. Непрерывность. Дифференцируемость и аналитичность Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Голоморфные функции. Многозначные аналитические функции. Ветви аналитической функции. Римановы поверхности.
3. Элементарные функции. Функции w=zn, w=n√z, w=½(z+1/z). Показательная функция и логарифм. Тригонометрические и гиперболические функции. Общая степенная функция w=zγ
Дополнительная литература
- Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1991.
- Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970.
5. Интеграл типа Коши. Вычисление интегралов типа Коши. Значение интеграла типа Коши на линии интегрирования. Главное значение интеграла по Коши. Граничные значения интеграла типа Коши. Формулы Сохоцкого-Племеля. Интегралы типа Коши по бесконечной прямой. Принцип максимума и лемма Шварца. Интегралы, зависящие от параметра. Аналитическая зависимость от параметра. Существование высших производных. Аналитическое продолжение. Многозначные функции
Дополнительная литература
- Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966.
- Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч.1,2. 1999.
7. Конформные отображения. Свойства конформного отображения. Простейшие конформные отображения. Примеры: целая степенная функция, показательная функция, логарифмическая функция, функция Жуковского, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции. Интеграл Кристоффеля-Шварца.
Дополнительная литература
- Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М. Наука, 1967.
- Коппенфельс В., Штальман Ц. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963.
Дополнительная литература
- Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Гостезхиздат, 1950.
- Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
Дополнительная литература
- Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: Гостехиздат, 1948.
- Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Наука, 1965.
- Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Наука, 1968.