zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Общий курс

Программа составлена: доцентом, к.ф.-м.н. В.М. Буре, доцентом, к.ф.-м.н. М.В. Свиркиным, ассистентом, к.ф.-м.н. Е.М. Парилиной

Часть 1. Теория вероятностей

1. Вероятностное пространство
Случайные события. Аксиоматика. Свойства вероятности. Классическое определение вероятностей. Геометрические вероятности. Задача о встрече. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2. Схема Бернулли
Биномиальное и полиномиальное распределения. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная предельные теоремы. Муавра-Лапласа. Закон больших чисел. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов.
3. Цепи Маркова
Предельная теорема для цепей Маркова.
4. Случайные величины
Измеримые пространства. Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Функции распределения на числовой прямой.
Функции от случайных величин. Случайные вектора. Функции распределения в конечномерных пространствах. Независимость случайных величин.
5. Математическое ожидание как интеграл Лебега
Определение и свойства математического ожидания. Теорема о замене переменной под знаком интеграла Лебега. Формулы для вычисления математического ожидания. Предельный переход под знаком математического ожидания. Теорема Лебега. Моменты случайных величин. Дисперсия, ковариация, корреляция. Неравенство Чебышева. Другие неравенства. Задача о наилучшем линейном прогнозе.
6. Виды сходимости случайных величин
Сходимости по вероятности, почти наверное, по распределению, в среднем. Сходимость в основном. Критерий сходимости почти наверное. Теорема Бореля-Кантелли. Эквивалентность сходимости в основном и сходимости по распределению. Свойства сходимости в основном.
7. Характеристические функции
Свойства характеристических функций. Примеры характеристических функций. Характеристические функции для нормального распределения. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем.
8. Предельные теоремы
Закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин, центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин, центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных векторов. Теорема Линдеберга, теорема Ляпунова. Усиленные законы больших чисел.
9. Условные распределения
Условные математические ожидания. Свойства условных математических ожиданий. Задача о наилучшем прогнозе в среднеквадратическом смысле.

Часть 2. Математическая статистика

10. Выборочное пространство
Выборка. Выборочное пространство. Эмпирическая вероятностная мера. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Теорема Гливенко-Кантелли. Теорема о предельном распределении эмпирических вероятностей. Описательная статистика.
11. Статистики. Предельные распределения
Выборочные моменты. Статистики первого типа. Теоремы непрерывности. Предельные распределения статистик первого типа. Предельное распределение статистики Пирсона. Гамма распределение. Распределение хи-квадрат.
12. Критерии согласия для простых гипотез
Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Критерий
13. Точечные оценки
Свойства точечных оценок. Методы построения точечных оценок. Достаточные статистики. Критерий Фишера. Теорема Колмогорова. Неравенство Рао-Крамера.
14. Доверительные интервалы
Асимптотические доверительные интервалы. Распределения статистик для выборок из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента. Точные доверительные интервалы для параметров нормальной генеральной совокупности.
15. Проверка статистических гипотез
Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Лемма Неймана-Пирсона. Сложные гипотезы о параметрах нормальных генеральных совокупностей. Распределение Фишера. Критерии однородности для нормально распределенных совокупности. Критерий однородности Смирнова. Критерий независимости Пирсона. Таблицы сопряженности.
16. Регрессионный анализ
Корреляционный анализ. Теорема Гаусса-Маркова. Критерии значимости. Коэффициент множественной корреляции. Дисперсионный однофакторный анализ. Кривые Грамма-Шарлье. Кривые Пирсона.

Основная литература

  1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики М.: Наука, 1982
  2. Ширяев А.Н. Вероятность М.: Наука, 1989.
  3. Боровков А.А. Теория вероятностей М.: Наука, 1986
  4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения т.1,2.М.: Мир, 1984

Дополнительная литература

  1. Крамер Г. Математические методы статистики М.: Мир, 1976
  2. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин М.: Наука, 1987
  3. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры М.: Мир, 1983
  4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер М.: Наука, 1977
  5. Лоэв М. Теория вероятностей М.: ИЛ, 1962
  6. Буре В.М., Тихонова Н.В. Методические указания по курсу математической статистики СПбГУ, 2003
  7. Буре В.М., Евсеев Е.А. Основы эконометрики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.