zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Элементы функционального анализа

Элементы функционального анализа

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Платонов А.В.

  1. Элементы теории множеств. Метрические и нормированные пространства:
    Множества. Основные операции над множествами. Отображения множеств. Эквивалентность множеств. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Теорема Кантора. Мощность континуума. Метрические пространства. Примеры. Основные определения (шара, предельной точки, замкнутости, открытости, всюду плотности, нигде не плотности, сепарабельности). Примеры. Фундаментальные последовательности. Полные пространства. Примеры. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Пополнение пространства. Линейные пространства. Основные определения (линейной независимости, базиса, размерности пространства, подпространства). Изоморфизм линейных пространств. Нормированные пространства. Примеры. Связь нормы и метрики. Банахово пространство. Непрерывные отображения. Сжимающиеся отображения. Принцип сжимающихся отображений. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению алгебраических уравнений и систем. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению дифференциальных уравнений. Теорема Пикара. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра. Компактные метрические пространства. Критерий компактности. Выпуклые множества. Принцип неподвижной точки Шаудера.
  2. Эвклидовы пространства:
    Евклидовы пространства. Ортогональные системы элементов. Полнота системы элементов. Теоремы об ортогональном базисе. Ряд Фурье. Теорема о наилучшем приближении элемента. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля. Теорема о полноте и замкнутости ортогональной системы в сепарабельном пространстве. Теорема Рисса-Фишера. Необходимое и достаточное условие полноты ортогональной системы в сепарабельном пространстве. Гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.
  3. Линейные функционалы и операторы:
    Функционалы в нормированном пространстве. Непрерывность, линейность функционалов. Теорема о непрерывности дистрибутивного функционала. Теорема о непрерывности дистрибутивного функционала в Rn. Общий вид линейного функционала в Rn. Ограниченность функционала. Теорема об ограниченности непрерывных функционалов. Норма функционала. Теорема о норме. Примеры. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве. Линейные операторы в конечномерных пространствах. Матрица оператора. Сумма и произведение операторов. Ядро и образ линейного оператора. Дефект и ранг линейного оператора. Невырожденный оператор. Свойства. Обратный оператор. Собственные числа и собственные элементы линейного оператора. Инвариантные подпространства. Сопряженные операторы. Свойства. Самосопряженные, ортогональные, нормальные операторы. Норма оператора.
  4. Теория меры:
    Кольца, алгебры, полукольца. Аддитивные функции. Свойства. Теорема о счетной аддитивности. Теорема о возрастающей и убывающей последовательности множеств. Мера множества. Свойства меры. Внешняя мера. Теорема о внешней мере. Мера, порожденная внешней мерой. Теорема о \mu^* -измеримых множествах. Свойства \mu^*-измеримых множеств. Стандартное распространение меры с полукольца на \sigma-алгебру. Полнота меры. Теорема о полной мере. Теоремы о повторном применении процедуры стандартного распространения меры и о единственности распространения. Мера Лебега. Измеримые множества. Измеримость открытых, замкнутых множеств и параллелепипедов. Конечные и счетные множества. Теорема о представлении внешней меры. Следствия. Множества типа F и G. Измеримые функции. Свойства. Арифметические свойства измеримых функций. Предельный переход в классе измеримых функций. Сходимость "почти всюду" и эквивалентные функции. Сходимость по мере. Теорема об эквивалентных функциях. Связь сходимости "почти всюду" и сходимости по мере. Теорема Лебега. Связь сходимости по мере и сходимости "почти всюду". Леммы. Теорема Рисса. Теорема об устойчивости сходимости. Теорема о регуляторе сходимости. Теоремы Егорова, Лузина, Фреше. Интеграл Лебега от ограниченной функции по множеству конечной меры. Суммы Лебега-Дарбу. Теорема об интегрируемости измеримой функции. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции. Интеграл Лебега - общий случай. Суммируемые функции. Свойства суммируемых функций. Геометрический смысл интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Теоремы Леви и Фату. Пространство S измеримых функций. Пространство L суммируемых функций. Пространство L^2- функций, суммируемых с квадратом. Теорема об измеримости сечений. Повторные интегралы. Теоремы Фубини и Тонелли.

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
  2. Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.