zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Кратные интегралы и ряды

Кратные интегралы и ряды

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Платонов А.В.

  1. Числовые ряды:
    Числовые ряды. Сходимость ряда, связь с последовательностями. Критерий Коши. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Теорема о ряде с неотрицательными убывающими слагаемыми. Ряд вида \sum_{n=1}^inf (1/n^p). Гармонический ряд. Признаки сравнения для рядов. Признак Коши сходимости ряда. Признаки Даламбера и Раабе сходимости ряда. Интегральный признак сходимости ряда. Теорема Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда. Признак Лейбница сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Теорема Римана.
  2. Функциональные последовательности и ряды:
    Функциональные последовательности и ряды. Основные определения. Сходимость. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда и предела функциональной последовательности. Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов и последовательностей. Теорема о почленном дифференцировании функциональных рядов и последовательностей. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенных рядов. Формула Тейлора как пример степенного ряда. Примеры применения степенных рядов. Формула Эйлера. Приближенное интегрирование функций. Неравенство Бернулли. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций степенными многочленами. Многочлены Бернштейна. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Классический ряд Фурье. Классические ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для промежутков вида [-l, +l] и [a, b]. Лемма Римана. Частичные суммы ряда Фурье. Интеграл Дирихле. Сходимость ряда Фурье. Теорема Дини. Аппроксимация функций в L2. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими многочленами.
  3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных:
    Двойной интеграл. Свойства. Двойной интеграл. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай области произвольного вида. Криволинейные интегралы 1 рода. Сведение к Риманову интегралу. Криволинейные интегралы 2 рода. Физический смысл. Сведение к Риманову интегралу. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью двойных и криволинейных интегралов. Теорема о равенстве нулю криволинейного интеграла 2 рода по произвольному контуру. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Условия того, что подынтегральное выражение в криволинейном интеграле является полным дифференциалом некоторой функции. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода в случае полного дифференциала под знаком интеграла. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Условия потенциальности для криволинейного интеграла по пространственному контуру (в трехмерном пространстве). Случай неодносвязной области. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Касательная плоскость к поверхности в трехмерном пространстве. Уравнение нормали к поверхности. Площадь криволинейной поверхности. Поверхностный интеграл 1 рода. Сведение к Риманову интегралу. Поверхностный интеграл 2 рода. Сведение к Риманову интегралу. Формула Стокса. Тройной интеграл. Формула Остроградского-Гаусса. Скалярное поле: поверхности уровня, производная по направлению, градиент. Векторное поле: векторные линии, поток векторного поля через поверхность, дивергенция. Циркуляция поля. Ротор. Потенциальные и соленоидальные поля. Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнение теплопроводности. Уравнение неразрывности. Основное уравнение движения идеальной жидкости.
  4. Интеграл Стилтьеса:
    Функции ограниченной вариации. Теорема об ограниченной вариации монотонных функций и Липшецовых функций. Теорема об ограниченности функций ограниченной вариации. Арифметические свойства функций ограниченной вариации. Теорема о полной вариации на сумме двух отрезков. Теорема о представлении функции ограниченной вариации в виде разности двух монотонных функций. Спрямляемые кривые. Теорема Жордана. Квадрируемые области на плоскости и кубируемые тела в трехмерном пространстве. Интеграл Стилтьеса. Суммы Дарбу-Стилтьеса. Критерий интегрируемости функции по Стилтьесу. Свойства. Классы функций, интегрируемых по Стилтьесу. Правила вычисления интеграла Стилтьеса.
  5. Интеграл Фурье:
    Интеграл Фурье. Сходимость интеграла Фурье. Теоремы Дини и Дирихле-Жордана. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье. Свойства.

Литература

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
  4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.