zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математический анализ

Математический анализ

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Платонов А.В.

  1. Предел последовательностей:
    Очерк теории чисел. Натуральные и рациональные числа. Символика мат. логики. Аксиоматика построения вещественных чисел (аксиомы сложения, умножения, порядка, о верхней грани). Свойства вещественных чисел. Следствия аксиом сложения и умножения. Свойства вещественных чисел. Следствия аксиом порядка и аксиомы о верхней грани. Комплексные числа. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Предел последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Арифметические свойства пределов. Свойства пределов последовательностей. Теорема "о двух милиционерах". Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е. Подпоследовательности. Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности. Теорема Больцано - Вейерштрасса (об ограниченных последовательностях). Теорема об ограниченной последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному пределу. Критерий сходимости Коши - Больцано. Частичные пределы. Наибольший и наименьший пределы последовательности. Примеры. Сходимость к бесконечности. Теорема о монотонной неограниченной последовательности. Свойства последовательностей с бесконечным пределом. Типы "неопределенностей" при вычислении пределов. Примеры. Предел последовательности комплексных чисел. Свойства.
  2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной:
    Понятие функции. Предельная точка множества. Теорема о предельной точке. Предел функции по Гейне. Свойства пределов. Теорема о пределе монотонной функции. Теорема о функции, не имеющей предела. Предел функции по Коши. Теорема об эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Критерий Коши существования предела функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Классификация и примеры. Эквивалентные функции. Теорема об эквивалентных функциях и ее использование для вычисления пределов. "Замечательные" пределы. Непрерывные функции. Определение, свойства. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Теорема Вейерштрасса (о непрерывных функциях). Теорема Коши-Больцано. Следствия. Теорема о непрерывности обратной функции. Теорема о строгой монотонности взаимно однозначной функции. Классификация разрывов функции. Производная функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали. Свойства дифференцируемых функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Локальные экстремумы. Теорема Ферма. Теоремы Ролля и Лагранжа. Теорема Коши. Следствия. Необходимое и достаточное условие постоянства функции. Монотонные функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Производные высшего порядка. Формула Лейбница. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Выпуклость/вогнутость функции. Свойства. Неравенство Йенсена. Необходимое и достаточное условие выпуклости/вогнутости функции. Теорема о касательных к графику выпуклой/вогнутой функции. Достаточное условие экстремума и точки перегиба (через старшие производные). Построение графиков функции. Асимптоты. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданной параметрически.
  3. Интегральное исчисление функции одной переменной:
    Понятие неопределенного интеграла. Кусочно-линейные функции. Теорема о полигональной аппроксимации. Теорема об интегрируемости непрерывных функций. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной. Внесение переменной под знак дифференциала. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование дифференциальных биномов. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл. Сумма Римана. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых по Риману функций. Геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегральная формула Тейлора. Обобщенная теорема о среднем. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла. Длина кривой. Случай явного и параметрического задания кривой. Длина кривой в полярных координатах. Механические приложения определенного интеграла. Координаты центра тяжести. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сравнения для несобственных интегралов. Теорема о сходимости несобственного интеграла вида \int_a^inf f(x)g(x)dx.
  4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных:
    Метрические пространства. Основные определения. Пространство R^n, введение метрики. Сферические и параллелепипедальные окрестности. Предел последовательности в R^n. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Функции от нескольких переменных. Предел функции по Гейне и по Коши. Повторные пределы. Свойства пределов. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши о непрерывных функциях. Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Частные производные. Полное приращение функции в точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости функции. Геометрические приложения производных. Касательные и нормали в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные по направлению. Градиент функции. Геометрический смысл. Производные старшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы старшего порядка. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условия. Методы градиентного и наискорейшего спуска. Дифференцирование неявных функций. Теорема о неявной функции. Функциональные матрицы и определители. Матрица Якоби. Теорема Лапласа. Независимость функций. Теорема о системе неявных функций. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
  5. Интегралы, зависящие от параметра:
    Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Производная от интеграла, зависящего от параметра. Правило Лейбница. Производная от интеграла, зависящего от параметра. Общий случай. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра. Предельный переход под знаком интеграла. Интегрируемость и дифференцируемость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Бета - функции. Гамма - функции.

Литература

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
  4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.