zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математический анализ

Математический анализ

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Платонов А.В.

  1. Предел последовательностей:
    Очерк теории чисел. Натуральные и рациональные числа. Символика мат. логики. Аксиоматика построения вещественных чисел (аксиомы сложения, умножения, порядка, о верхней грани). Свойства вещественных чисел. Следствия аксиом сложения и умножения. Свойства вещественных чисел. Следствия аксиом порядка и аксиомы о верхней грани. Комплексные числа. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Предел последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Арифметические свойства пределов. Свойства пределов последовательностей. Теорема "о двух милиционерах". Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число е. Подпоследовательности. Теорема о подпоследовательностях сходящейся последовательности. Теорема Больцано - Вейерштрасса (об ограниченных последовательностях). Теорема об ограниченной последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному пределу. Критерий сходимости Коши - Больцано. Частичные пределы. Наибольший и наименьший пределы последовательности. Примеры. Сходимость к бесконечности. Теорема о монотонной неограниченной последовательности. Свойства последовательностей с бесконечным пределом. Типы "неопределенностей" при вычислении пределов. Примеры. Предел последовательности комплексных чисел. Свойства.
  2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной:
    Понятие функции. Предельная точка множества. Теорема о предельной точке. Предел функции по Гейне. Свойства пределов. Теорема о пределе монотонной функции. Теорема о функции, не имеющей предела. Предел функции по Коши. Теорема об эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Критерий Коши существования предела функции. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Классификация и примеры. Эквивалентные функции. Теорема об эквивалентных функциях и ее использование для вычисления пределов. "Замечательные" пределы. Непрерывные функции. Определение, свойства. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Теорема Вейерштрасса (о непрерывных функциях). Теорема Коши-Больцано. Следствия. Теорема о непрерывности обратной функции. Теорема о строгой монотонности взаимно однозначной функции. Классификация разрывов функции. Производная функции. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали. Свойства дифференцируемых функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Локальные экстремумы. Теорема Ферма. Теоремы Ролля и Лагранжа. Теорема Коши. Следствия. Необходимое и достаточное условие постоянства функции. Монотонные функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Производные высшего порядка. Формула Лейбница. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Выпуклость/вогнутость функции. Свойства. Неравенство Йенсена. Необходимое и достаточное условие выпуклости/вогнутости функции. Теорема о касательных к графику выпуклой/вогнутой функции. Достаточное условие экстремума и точки перегиба (через старшие производные). Построение графиков функции. Асимптоты. Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков. Производная функции, заданной параметрически.
  3. Интегральное исчисление функции одной переменной:
    Понятие неопределенного интеграла. Кусочно-линейные функции. Теорема о полигональной аппроксимации. Теорема об интегрируемости непрерывных функций. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной. Внесение переменной под знак дифференциала. Формула интегрирования по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Подстановки Эйлера. Интегрирование дифференциальных биномов. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл. Сумма Римана. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых по Риману функций. Геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегральная формула Тейлора. Обобщенная теорема о среднем. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. Полярные координаты. Вычисление площадей в полярных координатах. Вычисление объемов с помощью определенного интеграла. Длина кривой. Случай явного и параметрического задания кривой. Длина кривой в полярных координатах. Механические приложения определенного интеграла. Координаты центра тяжести. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула Симпсона. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сравнения для несобственных интегралов. Теорема о сходимости несобственного интеграла вида \int_a^inf f(x)g(x)dx.
  4. Числовые ряды:
    Числовые ряды. Сходимость ряда, связь с последовательностями. Критерий Коши. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Сумма бесконечной геометрической прогрессии. Теорема о ряде с неотрицательными убывающими слагаемыми. Ряд вида \sum_{n=1}^inf (1/n^p). Гармонический ряд. Признаки сравнения для рядов. Признак Коши сходимости ряда. Признаки Даламбера и Раабе сходимости ряда. Интегральный признак сходимости ряда. Теорема Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости ряда. Признак Лейбница сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Теорема Римана.
  5. Функциональные последовательности и ряды:
    Функциональные последовательности и ряды. Основные определения. Сходимость. Равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда и предела функциональной последовательности. Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов и последовательностей. Теорема о почленном дифференцировании функциональных рядов и последовательностей. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенных рядов. Формула Тейлора как пример степенного ряда. Примеры применения степенных рядов. Формула Эйлера. Приближенное интегрирование функций. Неравенство Бернулли. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций степенными многочленами. Многочлены Бернштейна. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье. Классический ряд Фурье. Классические ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для промежутков вида [-l, +l] и [a, b]. Лемма Римана. Частичные суммы ряда Фурье. Интеграл Дирихле. Сходимость ряда Фурье. Теорема Дини. Аппроксимация функций в L^5. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими многочленами.
  6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных:
    Метрические пространства. Основные определения. Пространство , введение метрики. Сферические и параллелепипедальные окрестности. Предел последовательности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса. Функции от нескольких переменных. Предел функции по Гейне и по Коши. Повторные пределы. Свойства пределов. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши о непрерывных функциях. Теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Частные производные. Полное приращение функции в точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости функции. Геометрические приложения производных. Касательные и нормали в трехмерном пространстве. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные по направлению. Градиент функции. Геометрический смысл. Производные старшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы старшего порядка. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условия. Методы градиентного и наискорейшего спуска. Дифференцирование неявных функций. Теорема о неявной функции. Функциональные матрицы и определители. Матрица Якоби. Теорема Лапласа. Независимость функций. Теорема о системе неявных функций. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
  7. Интегралы, зависящие от параметра:
    Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Производная от интеграла, зависящего от параметра. Правило Лейбница. Производная от интеграла, зависящего от параметра. Общий случай. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Критерий Коши. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра. Предельный переход под знаком интеграла. Интегрируемость и дифференцируемость несобственных интегралов, зависящих от параметра. Бета - функции. Гамма - функции.
  8. Интегральное исчисление функций нескольких переменных:
    Двойной интеграл. Свойства. Двойной интеграл. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай прямоугольной области. Сведение двойного интеграла к повторному. Случай области произвольного вида. Криволинейные интегралы 1 рода. Сведение к Риманову интегралу. Криволинейные интегралы 2 рода. Физический смысл. Сведение к Риманову интегралу. Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью двойных и криволинейных интегралов. Теорема о равенстве нулю криволинейного интеграла 2 рода по произвольному контуру. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Условия того, что подынтегральное выражение в криволинейном интеграле является полным дифференциалом некоторой функции. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода в случае полного дифференциала под знаком интеграла. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Условия потенциальности для криволинейного интеграла по пространственному контуру (в трехмерном пространстве). Случай неодносвязной области. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Касательная плоскость к поверхности в трехмерном пространстве. Уравнение нормали к поверхности. Площадь криволинейной поверхности. Поверхностный интеграл 1 рода. Сведение к Риманову интегралу. Поверхностный интеграл 2 рода. Сведение к Риманову интегралу. Формула Стокса. Тройной интеграл. Формула Остроградского-Гаусса. Скалярное поле: поверхности уровня, производная по направлению, градиент. Векторное поле: векторные линии, поток векторного поля через поверхность, дивергенция. Циркуляция поля. Ротор. Потенциальные и соленоидальные поля. Уравнения Лапласа и Пуассона. Уравнение теплопроводности. Уравнение неразрывности. Основное уравнение движения идеальной жидкости.
  9. Интеграл Стилтьеса:
    Функции ограниченной вариации. Теорема об ограниченной вариации монотонных функций и Липшецовых функций. Теорема об ограниченности функций ограниченной вариации. Арифметические свойства функций ограниченной вариации. Теорема о полной вариации на сумме двух отрезков. Теорема о представлении функции ограниченной вариации в виде разности двух монотонных функций. Спрямляемые кривые. Теорема Жордана. Квадрируемые области на плоскости и кубируемые тела в трехмерном пространстве. Интеграл Стилтьеса. Суммы Дарбу-Стилтьеса. Критерий интегрируемости функции по Стилтьесу. Свойства. Классы функций, интегрируемых по Стилтьесу. Правила вычисления интеграла Стилтьеса.
  10. Интеграл Фурье:
    Интеграл Фурье. Сходимость интеграла Фурье. Теоремы Дини и Дирихле-Жордана. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье. Свойства.
  11. Некоторые элементы функционального анализа:
    Множества. Основные операции над множествами. Отображения множеств. Эквивалентность множеств. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Теорема Кантора. Мощность континуума. Метрические пространства. Примеры. Основные определения (шара, предельной точки, замкнутости, открытости, всюду плотности, нигде не плотности, сепарабельности). Примеры. Фундаментальные последовательности. Полные пространства. Примеры. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Пополнение пространства. Линейные пространства. Основные определения (линейной независимости, базиса, размерности пространства, подпространства). Изоморфизм линейных пространств. Нормированные пространства. Примеры. Связь нормы и метрики. Банахово пространство. Непрерывные отображения. Сжимающиеся отображения. Принцип сжимающихся отображений. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению алгебраических уравнений и систем. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению дифференциальных уравнений. Теорема Пикара. Приложение принципа сжимающихся отображений к решению интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма и Вольтерра. Компактные метрические пространства. Критерий компактности. Выпуклые множества. Принцип неподвижной точки Шаудера. Евклидовы пространства. Ортогональные системы элементов. Полнота системы элементов. Теоремы об ортогональном базисе. Ряд Фурье. Теорема о наилучшем приближении элемента. Неравенство Бесселя. Замкнутые ортогональные системы. Равенство Парсеваля. Теорема о полноте и замкнутости ортогональной системы в сепарабельном пространстве. Теорема Рисса-Фишера. Необходимое и достаточное условие полноты ортогональной системы в сепарабельном пространстве. Гильбертовы пространства. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств. Функционалы в нормированном пространстве. Непрерывность, линейность функционалов. Теорема о непрерывности дистрибутивного функционала. Теорема о непрерывности дистрибутивного функционала в R^n. Общий вид линейного функционала в R^n. Ограниченность функционала. Теорема об ограниченности непрерывных функционалов. Норма функционала. Теорема о норме. Примеры. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве. Линейные операторы в конечномерных пространствах. Матрица оператора. Сумма и произведение операторов. Ядро и образ линейного оператора. Дефект и ранг линейного оператора. Невырожденный оператор. Свойства. Обратный оператор. Собственные числа и собственные элементы линейного оператора. Инвариантные подпространства. Сопряженные операторы. Свойства. Самосопряженные, ортогональные, нормальные операторы. Норма оператора.

Литература

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
  2. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
  4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
  5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
  6. Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.