zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Математический анализ динамических систем

Математический анализ динамических систем

Общий курс

Составители: д.ф.-м.н, профессор Жабко А.П., д.ф.-м.н, профессор Кирпичников С.Н.

Глава 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ

Метрические пространства. Свойства метрики. Сходимость. Примеры. Множества открытые и замкнутые, предельные точки, замыкание, внутренность, граница. Подпространства. Непрерывные отображения. Фундаментальная последовательность, полнота. Примеры. Теорема о вложенных шарах. Пополнение. Параметрические операторы и функционалы, их непрерывность. Окрестность множества. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Категории по Бэру. Теорема Бэра.

Компактность. Ограниченность, ε-сеть и полная ограниченность множества. Сепарабельность. Компактность, секвенциальная компактность. Компактность относительно пространства. Компактные множества, их свойства, критерии компактности. Счетная база.

Нормированные пространства. Банаховы пространства. Примеры.

Динамические системы в эвкклидовых пространствах, в функциональных пространствах, в метрических пространствах. Примеры. Траектории и полутраектории. Непрерывная зависимость от начальных данных. Теорема о 3-х видах траекторий. Точки покоя, периодические движения.

Глава 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ

Инвариантные множества, их свойства. Изолированные точки покоя, свойства множества точек покоя. Определение ω и α предельных точек. Предельные множества динамических систем, их свойства. Примеры. Лемма о поворотах окружности. Динамические системы на торе. Предельные множества периодических траекторий.

Устойчивость по Лагранжу. Свойства устойчивых по Лагранжу траекторий. Примеры. Уходящие траектории, асимптотические траектории. Устойчивость по Пуассону. Свойства Р-устойчивости. Р-устойчивые траектории динамических систем на двумерных многообразиях, на которых выполнена теорема Жордана. Теорема о незамкнутой Р-устойчивой траектории в полном метрическом пространстве.

Устойчивость по Ляпунову замкнутых инвариантных множеств. Неустойчивость. Асимптотическая устойчивость, область притяжения. Равномерно асимптотически устойчивые и равномерно притягивающие множества. Примеры. Поведение траекторий в окрестности устойчивых по Ляпунову замкнутых инвариантных множеств: теоремы о критериях их устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Следствия для евклидовых пространств.

Глава 3.ВОЗВРАЩАЕМОСТЬ И МИНИМАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА

Центральные движения. Возвращаемость открытых множеств. Блуждающие и неблуждающие точки, их свойства. Примеры. Трансфинитная индукция. Различные определения множества центральных движений, его свойства. Теорема о категории по Бэру Р-устойчивых точек. Пример: аттрактор Лоренца. Минимальный центр притяжения.

Минимальное множество. Теорема существования. Критерий минимальности. Различные определения рекуррентных движений. Теоремы Биркгофа. Относительно плотные множества. Критерий рекуррентности L-устойчивого движения. Рекуррентные функции. Примеры. Свойства пространства рекуррентных функций. Теорема о критерии рекуррентности взвешенной суммы экспонент чисто мнимых непрерывных функций. Случаи двух линейных и одной квадратичной функций. Почти периодические движения. Почти периодические функции по Бору, их простейшие свойства. Теорема о равномерной непрерывности и ее следствие. Линейное пространство почти периодических функций. Полнота пространства. Интеграл и производная почти периодической функции. Предельные свойства почти периодических функций. Спектр и ряд Фурье. Равномерная аппроксимация тригонометрическими полиномами. Квазипериодические и условно периодические функции. Теорема В.И.Зубова об аппроксимации рекуррентных функций и объяснение катастрофических явлений с помощью интерференции рекуррентных волн.

Глава 4. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Пространства с конечной и σ-конечной мерой. Абстрактные динамические системы. Динамические системы с дискретным временем. Мера, инвариантная относительно динамической системы. Критерий существования интегрального инварианта для обыкновенных дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве. Случай гамильтоновых уравнений. Теорема Пуанкаре о возвращении и ее следствия. Примеры. Динамическая система, отвечающая выпуклому бильярду. Движения типа "прыгающего мячика" и "шепчущей галереи", каустики. Теорема Хопфа, ее следствия и применения.

Мера Каратеодори: основные понятия и конструкции. Измеримые множества, критерий измеримости. Измеримые функции и их свойства. Интеграл Лебега от измеримой функции. Теорема Фубини. Первая эргодическая теорема: существование временного среднего на траектории, его постоянство на траектории и интеграл от него по пространству. Транзитивные динамические системы. Вторая эргодическая теорема и ее следствия. Случай динамических систем с дискретным временем. Эргодические динамические системы на двумерном торе и на окружности. Сходимость в смысле Чезаро. Эргодичность и перемешивание. Пример эргодической системы с перемешиванием. Статистические эргодические теоремы.

Глава 5. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Периодические динамические системы в евклидовом простанстве, в функциональном пространстве, в метрическом пространстве. Непрерывная зависимость траекторий от начальных данных. Инвариантные множества, точки покоя, периодические движения 1-го и 2-го типов. Сечение инвариантных множеств, свойства множества точек покоя. Предельные множества. Устойчивость по Лагранжу. Блуждающие точки, центральные движения. Устойчивость по Пуассону, минимальные множества. Устойчивость по Ляпунову инвариантных множеств. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

  1. В.И.Зубов. Устойчивость движения.- М.: Высш.школа, 1973.
  2. В.И.Зубов. Аналитическая динамика гироскопических систем.- Л.: Судостроение, 1970.- 320 с.
  3. В.В.Немыцкий, В.В.Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений.- 2-е изд.- М.: Гостехиздат, 1949.
  4. А.Н.Колмогоров, С.И.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976.- 544 с.
  5. Б.П.Демидович. Лекции по математической теории устойчивости.- М., Наука, 1967.
  6. В.Д. Ширяев. Теория вероятностей. М., Физматгиз.

Дополнительная литература

  1. В.И.Зубов. Колебания и волны.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.- 416 с.
  2. В.И.Зубов. Теория колебаний.- М., Высш. школа, 1979.
  3. П.Р.Халмош. Лекции по эргодической теории.- М.: ИИЛ, 1959.