zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Геометрия

Геометрия

Общий курс

Составители: к.ф.-м.н., проф. Кузютин В.Ф., к.ф.-м.н., доц. Еремеев В.В., к.ф.-м.н., доц. Зенкевич Н.А

Учебная литература
Постников М.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1979.
Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981.
Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1990.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1985.
Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2001.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Г. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1964.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987.

Раздел I. Аналитическая геометрия

Глава 1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Векторы и линейные операции над ними. Линейная зависимость и независимость. Деление вектора в заданном отношении. Линеал. Базис. Размерность. Изоморфизм линеалов. Аффинные пространства и системы координат. Декартовы прямоугольные системы координат на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Полярная система координат на плоскости. Обобщенные полярные координаты. Цилиндрические и сферические координаты в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов. Двойное векторное произведение. Евклидовы, нормированные и метрические пространства.

Глава 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

Преобразование декартовых прямоугольных координат на прямой, плоскости и трехмерном пространстве. Преобразование координат в трехмерном пространстве с помощью углов Эйлера. Преобразование аффинных координат. Преобразование координат в многомерном линеале.

Глава 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Векторное и общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости). Уравнение "в отрезках" плоскости в трехмерном пространстве (прямой на плоскости). Параметрические уравнения плоскости. Геометрический смысл неравенств первой степени. Нормированное уравнение плоскости (прямой на плоскости). Пучки плоскостей (прямых на плоскости). Связки плоскостей в трехмерном пространстве. Векторное параметрическое, параметрические и общие векторные уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. Взаимное расположение прямых и плоскостей в трехмерном пространстве. Связки прямых в трехмерном пространстве.

Глава 4. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Эллипс, гипербола. Парабола. Преобразование коэффициентов общего уравнения линии второго порядка при параллельном переносе и при повороте системы координат. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Поверхности вращения. Эллипсоид. Однополостный и двуполостный гиперболоид. Эллиптический и гиперболический параболоид. Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка. Конические поверхности. Конические поверхности второго порядка. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при параллельном переносе и повороте системы координат. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка. Гиперповерхности второго порядка. Инварианты общего уравнения линии второго порядка относительно преобразования координат. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относительно преобразования координат. Исследование общего уравнения линии и поверхности второго порядка с помощью инвариантов.

Раздел II. Элементы дифференциальной геометрии

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Векторная функция скалярного аргумента. Предел. Непрерывность. Производная. Формула Тейлора. Неопределенный и определенный интеграл.

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ

Понятие кривой. Касательная к кривой. Соприкасающаяся, нормальная, спрямляющая плоскости кривой. Нормаль, главная нормаль, бинормаль. Длина дуги кривой. Естественная параметризация. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе. Взаимное расположение кривой и граней естественного трехгранника. Натуральные уравнения кривой. Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых. Эволюта и эвольвента плоской кривой.

Глава 3.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Понятие поверхности. Касательная прямая к кривой на поверхности, касательная плоскость и нормаль к поверхности. Первая квадратичная форма. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Вторая квадратичная форма. Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Главная кривизна. Поверхность вращения. Линейчатые поверхности.

Раздел III. Элементы выпуклого анализа

Глава 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Линейные подпространства. Операции над множествами. Линейная оболочка множества. Системы линейных уравнений. Многомерные плоскости и их уравнения. Взаимное расположение многомерных плоскостей. Уравнения геометрических объектов в евклидовом пространстве. Топология евклидова пространства.

Глава 2. ГЕОМЕТРИЯ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ

Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества. Размерность выпуклого множества. Выпуклые многогранники. Топологические свойства выпуклых множеств. Выпуклые конусы. Алгебра выпуклых конусов. Коническая оболочка множества. Заостренный конус. Отделимость выпуклых множеств. Теорема о разделяющей гиперплоскости. Опорная гиперплоскость. Конечные конусы. Неявное уравнение конечного конуса. Алгебра конечных конусов. Крайние векторы выпуклых конусов. Параметрические уравнения конечного конуса. Выпуклые цилиндры. Цилиндрическая оболочка множества.

Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Выпуклое многогранное множество и его структура. Размерность многогранного множества. Многогранный конус. Грани многогранного множества. Характеристика крайних решений. Параметрическое уравнение многогранного множества. Теорема о представлении. Геометрия задачи линейного программирования (ЗЛП). Множество допустимых решений. Оптимальное решение задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация решения ЗЛП.