Геометрия
Общий курс
Разработчик: к.ф.-м.н., доцент Калинина Е.А.
Аналитическая геометрия
Векторы и операции над ними
- Определители второго порядка. Определение и свойства, связь с системами линейных уравнений. Определители третьего и больших порядков. Определение и свойства. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными (случай ненулевого определителя). Закрепленные и свободные векторы. Коллинеарность и компланарность. Линейные операции над векторами.
- Линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Линейная зависимость объемлющей системы. Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве. Базис. Разложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система координат. Деление отрезка в данном отношении. Центр тяжести системы точек. Барицентрические координаты. Скалярное произведение и его свойства. Запись в ортонормированном базисе. Вычисление угла между векторами.
- Ориентированная площадь и ее свойства, ориентация пары векторов и ее геометрический смысл. Площадь параллелограмма в ортонормированном базисе. Ориентированный объем параллелепипеда относительно ортонормированного базиса, ориентация тройки векторов. Необходимое и достаточное условие положительной ориентации одного базиса пространства относительно другого, связанное с деформацией. Геометрическое следствие. Задание ориентации. Ориентированный объем в ориентированном пространстве.
- Векторное и смешанное произведения, связь с ориентированным объемом в ориентированном пространстве и свойства. Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах. Связь ориентированного объема относительно базиса с ориентированным объемом в ориентированном пространстве.
- Формула двойного векторного произведения и тождество Якоби.
Прямые и плоскости
Прямая на плоскости. Параметрические уравнения. Прямая как кривая первого порядка. Необходимое и достаточное условие задания одной прямой в фиксированной системе координат двумя уравнениями. Нахождение векторов, параллельных прямой. Взаимное расположение двух прямых. Полуплоскости, связанные с линейным уравнением. Пучок прямых на плоскости. Условие принадлежности прямой пучку. Нормальный вектор и расстояние от точки до прямой в прямоугольных координатах. Нормальное уравнение, отклонение. Угол между прямыми на плоскости, связь с полуплоскостями.- Параметрическое и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей, формула для направляющего вектора. Замены координат, матрица перехода. Формулы замены координат. Координаты векторов. Композиции замен. Прямоугольные счистемы координат и ортогональные матрицы, их свойства. Ортогональные матрицы второго порядка. Углы Эйлера.
- Полярные, сферические и цилиндрические координаты.
Эллипс, гипербола, парабола
Геометрическое определение эллипса, гиперболы и параболы. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Оптические (фокальные) свойства коник.- Аналитическое определение коник. Директориальные свойства коник. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник.
Кривые второго порядка
Канонические уравнения кривых второго порядка. Квадрики. Теорема о приведении к каноническому виду. Инварианты многочлена второй степени. Определение типа квадрик. ЛЕКЦИЯ 9: Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение. Распадающиеся кривые. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Инвариантность определения. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.- Диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Диаметры параболы. Центр и его уравнения. Наличие центров: условия. Взаимное расположение центров и диаметров. Взаимно сопряженные диаметры и направления. Диаметры кривой с единственным центром. Главные диаметры и оси симметрии. Связь с собственными векторами.
- Нахождение вида и расположения кривых второго порядка. Касательные к кривым второго порядка. Аффинные преобразования плоскости и пространства. Их запись в координатах. Независимость определения от выбора системы координат. Действие на векторы. Геометрические свойства.
Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка: определение и теорема о приведении к каноническому виду.- Единственность канонического уравнения поверхности. Эллипсоид. Его сечения. Гиперболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Асимптотические направления поверхности. Инвариантность определения. Связь с прямолинейными образующими. Параболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
- Конус. Коническая поверхность над кривой. Коническая поверхность над эллипсом. Цилиндры и их образующие. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с поверхностью второго порядка. Сопряженная диаметральная плоскость. Уравнения центра поверхности. Центральные поверхности. Касательная прямая и касательная плоскость к поверхности второго порядка. Связь касательной плоскости с прямолинейными образующими.
Проективная и дифференциальная геометрия
Проективная геометрия.
- Связка как модель проективной плоскости. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах. Координаты прямой. Принцип двойственности на проективной плоскости. Параметрические уравнения прямой.
- Теорема Дезарга. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости. Выражение координат точки относительно «старой» системы координат через ее координаты относительно «новой» системы координат.
- Проективные преобразования. Лемма о проективных преобразованиях. Проективные преобразования. Основная теорема о проективных преобразованиях. Проективно-аффинные преобразования. Проективная прямая. Двойное отношение четырех точек на прямой.
- Кривые второго порядка на проективной плоскости.
Дифференциальная геометрия.
Вектор-функция скалярного аргумента. Определение вектор-функции, предел, непрерывность и дифференцируемость. Координаты вектор-функции. Формула Тейлора. Интеграл. Годограф. Понятие кривой (топологическое отображение, элементарная кривая, простая кривая, общая кривая).Элементы теории кривых.
- Регулярная кривая. Особые точки регулярных плоских кривых. Касательная кривой. Касательная кривой, заданной неявными уравнениями.
- Соприкасающаяся плоскость кривой. Соприкосновение кривых. Огибающая семейства кривых, зависящего от одного параметра. Длина дуги кривой кривой. Естественная параметризация.
- Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе. Уравнение кривой, отнесенное к осям естественного трехгранника. Натуральные уравнения кривой.
- Эволюта плоской кривой. Эвольвента плоской кривой. Эволюта плоской кривой.
Элементы теории поверхностей.
Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность. Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности.- Особые точки на регулярной поверхности. Касательная плоскость поверхности. Огибающая семейства поверхностей, зависящего от одного или двух параметров. Огибающая семейства плоскостей, зависящего от одного параметра.
- Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Конформные отображения.
- Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Индикатриса кривизны. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряженные направления.
- Главные кривизны. Связь между главными кривизнами поверхности и нормальной кривизной. Средняя и гауссова кривизна. Линейчатые поверхности. Поверхности вращения.
Основная литература
- Александров А.Д.. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука,1968.
- Ильин В.А, Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. ФИЗМАТЛИТ, 2004.
- Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. Лань, 2003.
- Троицкий Е.В. Аналитическая геометрия. Конспект лекций.
- Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
- Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.
- Феденко А.С. (под ред.) Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1979.
Дополнительная литература
- Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.Ж Физматлит, 2003.
- Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.Ж Физматлит, 2004.