zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Геометрия

Геометрия

Общий курс

Разработчик: к.ф.-м.н., доцент Калинина Е.А.

Аналитическая геометрия

Векторы и операции над ними

  1. Определители второго порядка. Определение и свойства, связь с системами линейных уравнений. Определители третьего и больших порядков. Определение и свойства. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными (случай ненулевого определителя). Закрепленные и свободные векторы. Коллинеарность и компланарность. Линейные операции над векторами.
  2. Линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Линейная зависимость объемлющей системы. Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве. Базис. Разложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система координат. Деление отрезка в данном отношении. Центр тяжести системы точек. Барицентрические координаты. Скалярное произведение и его свойства. Запись в ортонормированном базисе. Вычисление угла между векторами.
  3. Ориентированная площадь и ее свойства, ориентация пары векторов и ее геометрический смысл. Площадь параллелограмма в ортонормированном базисе. Ориентированный объем параллелепипеда относительно ортонормированного базиса, ориентация тройки векторов. Необходимое и достаточное условие положительной ориентации одного базиса пространства относительно другого, связанное с деформацией. Геометрическое следствие. Задание ориентации. Ориентированный объем в ориентированном пространстве.
  4. Векторное и смешанное произведения, связь с ориентированным объемом в ориентированном пространстве и свойства. Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах. Связь ориентированного объема относительно базиса с ориентированным объемом в ориентированном пространстве.
  5. Формула двойного векторного произведения и тождество Якоби.

Прямые и плоскости

Прямая на плоскости. Параметрические уравнения. Прямая как кривая первого порядка. Необходимое и достаточное условие задания одной прямой в фиксированной системе координат двумя уравнениями. Нахождение векторов, параллельных прямой. Взаимное расположение двух прямых. Полуплоскости, связанные с линейным уравнением. Пучок прямых на плоскости. Условие принадлежности прямой пучку. Нормальный вектор и расстояние от точки до прямой в прямоугольных координатах. Нормальное уравнение, отклонение. Угол между прямыми на плоскости, связь с полуплоскостями.
  1. Параметрическое и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как пересечение двух плоскостей, формула для направляющего вектора. Замены координат, матрица перехода. Формулы замены координат. Координаты векторов. Композиции замен. Прямоугольные счистемы координат и ортогональные матрицы, их свойства. Ортогональные матрицы второго порядка. Углы Эйлера.
  2. Полярные, сферические и цилиндрические координаты.

Эллипс, гипербола, парабола

Геометрическое определение эллипса, гиперболы и параболы. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Оптические (фокальные) свойства коник.
  1. Аналитическое определение коник. Директориальные свойства коник. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник.

Кривые второго порядка

Канонические уравнения кривых второго порядка. Квадрики. Теорема о приведении к каноническому виду. Инварианты многочлена второй степени. Определение типа квадрик. ЛЕКЦИЯ 9: Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение. Распадающиеся кривые. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Инвариантность определения. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.
  1. Диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Диаметры параболы. Центр и его уравнения. Наличие центров: условия. Взаимное расположение центров и диаметров. Взаимно сопряженные диаметры и направления. Диаметры кривой с единственным центром. Главные диаметры и оси симметрии. Связь с собственными векторами.
  2. Нахождение вида и расположения кривых второго порядка. Касательные к кривым второго порядка. Аффинные преобразования плоскости и пространства. Их запись в координатах. Независимость определения от выбора системы координат. Действие на векторы. Геометрические свойства.

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка: определение и теорема о приведении к каноническому виду.
  1. Единственность канонического уравнения поверхности. Эллипсоид. Его сечения. Гиперболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Асимптотические направления поверхности. Инвариантность определения. Связь с прямолинейными образующими. Параболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
  2. Конус. Коническая поверхность над кривой. Коническая поверхность над эллипсом. Цилиндры и их образующие. Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с поверхностью второго порядка. Сопряженная диаметральная плоскость. Уравнения центра поверхности. Центральные поверхности. Касательная прямая и касательная плоскость к поверхности второго порядка. Связь касательной плоскости с прямолинейными образующими.

Проективная и дифференциальная геометрия

Проективная геометрия.

  1. Связка как модель проективной плоскости. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах. Координаты прямой. Принцип двойственности на проективной плоскости. Параметрические уравнения прямой.
  2. Теорема Дезарга. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости. Выражение координат точки относительно «старой» системы координат через ее координаты относительно «новой» системы координат.
  3. Проективные преобразования. Лемма о проективных преобразованиях. Проективные преобразования. Основная теорема о проективных преобразованиях. Проективно-аффинные преобразования. Проективная прямая. Двойное отношение четырех точек на прямой.
  4. Кривые второго порядка на проективной плоскости.

Дифференциальная геометрия.

Вектор-функция скалярного аргумента. Определение вектор-функции, предел, непрерывность и дифференцируемость. Координаты вектор-функции. Формула Тейлора. Интеграл. Годограф. Понятие кривой (топологическое отображение, элементарная кривая, простая кривая, общая кривая).

Элементы теории кривых.

  1. Регулярная кривая. Особые точки регулярных плоских кривых. Касательная кривой. Касательная кривой, заданной неявными уравнениями.
  2. Соприкасающаяся плоскость кривой. Соприкосновение кривых. Огибающая семейства кривых, зависящего от одного параметра. Длина дуги кривой кривой. Естественная параметризация.
  3. Кривизна кривой. Кручение кривой. Формулы Френе. Уравнение кривой, отнесенное к осям естественного трехгранника. Натуральные уравнения кривой.
  4. Эволюта плоской кривой. Эвольвента плоской кривой. Эволюта плоской кривой.

Элементы теории поверхностей.

Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность. Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности.
  1. Особые точки на регулярной поверхности. Касательная плоскость поверхности. Огибающая семейства поверхностей, зависящего от одного или двух параметров. Огибающая семейства плоскостей, зависящего от одного параметра.
  2. Первая квадратичная форма поверхности. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Конформные отображения.
  3. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Индикатриса кривизны. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряженные направления.
  4. Главные кривизны. Связь между главными кривизнами поверхности и нормальной кривизной. Средняя и гауссова кривизна. Линейчатые поверхности. Поверхности вращения.

Основная литература

  1. Александров А.Д.. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука,1968.
  2. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. Лань, 2003.
  4. Троицкий Е.В. Аналитическая геометрия. Конспект лекций.
  5. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
  6. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.
  7. Феденко А.С. (под ред.) Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1979.

Дополнительная литература

  1. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.Ж Физматлит, 2003.
  2. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. М.Ж Физматлит, 2004.