Дифференциальные уравнения

Общий курс

Составитель: д.ф.-м.н., профессор А.П.Жабко,
к.ф.-м.н., доцент С.А.Стрекопытов

Основная литература

Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.
Зубов В.И. Колебания и волны. Л., 1989.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1992.
Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Дополнительная литература

Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Высш. шк., 1972.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М., 1959.

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Начальные сведения. Понятие уравнения и его решения. Поле направлений. Геометрическая и механическая интерпретация уравнения и решения. Формы задания решения. Задача Коши. Общее, частное и особое решения. Верхнее и нижнее решения. Первый интеграл.

Глава 2. Методы интегрирования уравнений первого порядка

Неполные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное и обобщенное однородное уравнения. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Основные понятия и определения. Общее, частное и особое решения. Начальная и граничная задачи. Методы интегрирования уравнений высших порядков. Линейные уравнения.

Глава 4. Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия и определения. Нормальная система. Приведение уравнения n-го порядка к нормальной системе и обратная задача. Задача Коши. Понятие единственности решения. Общее, частное и особое решения. Интеграл системы. Первые интегралы. Общий интеграл. Групповое свойство решений в форме Коши. Автономные и периодические системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство. Точки покоя и периодические траектории. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений. Качественное поведение на плоскости траекторий линейной стационарной системы.

Глава 5. Теоремы существования и единственности

Последовательности функций. Равностепенная непрерывность, равномерная ограниченность, равномерная сходимость. Лемма об интегральном представлении решения задачи Коши. Ломаные Эйлера. Теорема Пеано о существовании решения. Теорема Пикара о существовании и единственности решения. Теорема Каратеодори. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме с голоморфными правыми частями. Теорема Коши о существовании голоморфного решения. Теория уравнений с регулярной особой точкой. Продолжение решений. Теорема об интервале существования решения. Теорема Винтнера о существовании решения на всей оси.

Глава 6. Общая теория линейных систем

Свойства линейных систем. Однородные линейные системы и свойства их решений. Понятие и критерии линейной независимости вектор-функций, скалярных функций. Необходимые и достаточные условия линейной независимости решений линейных однородных систем. Фундаментальная матрица. Формула Лиувилля. Общее решение и интегралы однородной линейной системы. Неоднородные линейные системы: структура общего решения, метод вариации произвольных постоянных, формула Коши.

Глава 7. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Матричные ряды и экспонента матрицы. Построение фундаментальной матрицы. Асимптотические свойства решений однородной линейной системы. Следствия для линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Построение фундаментальной матрицы на основе матричного тождества Гамильтона-Кэли. Метод неопределенных коэффициентов.

Глава 8. Линейные системы с переменными коэффициентами

Линейные системы с периодическими коэффициентами. Логарифм матрицы. Теория Флоке. Колебательные движения в линейных периодических системах. Резонанс. Случай Лаппо-Данилевского. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.

Глава 9. Зависимость решений от параметров

Системы дифференциальных уравнений с параметрами. Лемма Гронуолла. Непрерывная зависимость решений от правых частей нормальной системы, начальных данных и параметров. Интегральная непрерывность решений. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам. Система в вариациях. Существование общего решения и общего интеграла нормальной системы. Теорема о голоморфности решения относительно параметров. Метод малого параметра Пуанкаре для построения решения начальной задачи и периодического решения. Квазилинейные системы.

Глава 10. Уравнения в частных производных первого порядка

Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка. Общее решение. Характеристики Коши. Решение начальной задачи. Нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. Полный, особый и общий интегралы. Системы квазилинейных уравнений первого порядка с одинаковой главной частью. Метод Лагранжа-Шарпи.