Дифференциальные уравнения
Составитель: д.ф.-м.н., профессор А.П.Жабко,
к.ф.-м.н., доцент С.А.Стрекопытов
Основная литература
- Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.
- Зубов В.И. Колебания и волны. Л., 1989.
- Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., 1992.
- Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям.
Дополнительная литература
- Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.
Высш. шк., 1972.
- Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М., 1959.
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Начальные сведения. Понятие уравнения и его решения. Поле направлений. Геометрическая
и механическая интерпретация уравнения и решения. Формы задания решения. Задача Коши.
Общее, частное и особое решения. Верхнее и нижнее решения. Первый интеграл.
Глава 2. Методы интегрирования уравнений первого порядка
Неполные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное и
обобщенное однородное уравнения. Линейные уравнения. Уравнения в полных
дифференциалах. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения не разрешенные
относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия и определения. Общее, частное и особое решения. Начальная и
граничная задачи. Методы интегрирования уравнений высших порядков. Линейные
уравнения.
Глава 4. Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия и определения. Нормальная система. Приведение уравнения n-го
порядка к нормальной системе и обратная задача. Задача Коши. Понятие
единственности решения. Общее, частное и особое решения. Интеграл системы.
Первые интегралы. Общий интеграл. Групповое свойство решений в форме Коши.
Автономные и периодические системы дифференциальных уравнений. Фазовое
пространство. Точки покоя и периодические траектории. Методы интегрирования
систем дифференциальных уравнений. Качественное поведение на плоскости
траекторий линейной стационарной системы.
Глава 5. Теоремы существования и единственности
Последовательности функций. Равностепенная непрерывность, равномерная
ограниченность, равномерная сходимость. Лемма об интегральном представлении
решения задачи Коши. Ломаные Эйлера. Теорема Пеано о существовании решения.
Теорема Пикара о существовании и единственности решения. Теорема Каратеодори.
Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме с голоморфными правыми
частями. Теорема Коши о существовании голоморфного решения. Теория уравнений
с регулярной особой точкой. Продолжение решений. Теорема об интервале
существования решения. Теорема Винтнера о существовании решения на всей оси.
Глава 6. Общая теория линейных систем
Свойства линейных систем. Однородные линейные системы и свойства их решений.
Понятие и критерии линейной независимости вектор-функций, скалярных функций.
Необходимые и достаточные условия линейной независимости решений линейных
однородных систем. Фундаментальная матрица. Формула Лиувилля. Общее решение
и интегралы однородной линейной системы. Неоднородные линейные системы:
структура общего решения, метод вариации произвольных постоянных, формула Коши.
Глава 7. Линейные системы с постоянными коэффициентами
Матричные ряды и экспонента матрицы. Построение фундаментальной матрицы.
Асимптотические свойства решений однородной линейной системы. Следствия для
линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Построение фундаментальной
матрицы на основе матричного тождества Гамильтона-Кэли. Метод неопределенных
коэффициентов.
Глава 8. Линейные системы с переменными коэффициентами
Линейные системы с периодическими коэффициентами. Логарифм матрицы.
Теория Флоке. Колебательные движения в линейных периодических системах.
Резонанс. Случай Лаппо-Данилевского. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с переменными коэффициентами.
Глава 9. Зависимость решений от параметров
Системы дифференциальных уравнений с параметрами. Лемма Гронуолла. Непрерывная
зависимость решений от правых частей нормальной системы, начальных данных и
параметров. Интегральная непрерывность решений. Дифференцируемость решений по
начальным данным и параметрам. Система в вариациях. Существование общего
решения и общего интеграла нормальной системы. Теорема о голоморфности решения
относительно параметров. Метод малого параметра Пуанкаре для построения решения
начальной задачи и периодического решения. Квазилинейные системы.
Глава 10. Уравнения в частных производных первого порядка
Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка. Общее решение.
Характеристики Коши. Решение начальной задачи. Нелинейное уравнение в частных
производных первого порядка. Полный, особый и общий интегралы. Системы
квазилинейных уравнений первого порядка с одинаковой главной частью. Метод
Лагранжа-Шарпи.