zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Мат. анализ

Математический анализ

Общий курс



Составители: д.ф.-м.н., проф.Камачкин А.М., д.ф.-м.н., проф. А.Ю.Александров

Учебная литература
  1. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1, М., 1982. Ч. 2. 1984.
  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. М., 1971. Ч. 2, М., 1980.
  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М., 1988-1989.
  4. Камынин Л.И. Курс математического анализа. Т. 1. М., 1993. Т. 2. М., 1995.
  5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
Дополнительная литература
  1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
  3. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. М., 1968.
  4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974.
  5. Рудин У. Основы математического анализа. М., 1966.
  6. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1, 2, 5. М., 1961-1966.
  7. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М., 1966-1971.
  8. Ляшко И.И. и др. Математический анализ в примерах и задачах. Ч. 1, 2. Киев, 1977.

Введение

Понятие множества. Элементарные операции над множествами. Функция как отношение и график.

Раздел I. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной действительной переменной

Глава 1. Действительные (вещественные) числа

Аксиоматика и общие свойства множества действительных чисел (R). Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества. Важнейшие классы действительных чисел. Числовая прямая, позиционные системы. Основные леммы, связанные с полнотой R : лемма о вложенных отрезках, лемма о конечном покрытии отрезка, лемма о предельной точке бесконечного множества. Счетные множества и множества мощности континуума.

Глава 2. Предел числовой последовательности

Бесконечно малая и бесконечно большая величина. Предел монотонной последовательности, критерий Коши существования предела. Свойства сходящихся последовательностей, арифметические операции над последовательностями. Число e.

Глава 3. Числовые ряды

Критерии сходимости. Признаки сходимости, основанные на сравнении рядов. Знакочередующиеся ряды. Абсолютно сходящиеся ряды, операции над ними. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Глава 4. Предел числовой функции

Эквивалентные определения предела. Свойства предела. Критерии существования предела. Предел композиции функций.

Глава 5. Непрерывные функции

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке (Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора). Теорема об обратной функции. Непрерывность элементарных функций.

Глава 6. Дифференцируемые функции

Дифференциал и производная функции, геометрическая интерпретация, правила дифференцирования, дифференциал композиции функций и обратной функции, дифференцирование неявно заданных функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Формула Тейлора. Сравнение функций, раскрытие неопределенностей. Исследование графика функций с помощью производных: признаки монотонности, выпуклости, экстремума функции.

Глава 7. Первообразная и неопределённый интеграл

Таблица неопределенных интегралов. Основные приёмы отыскания первообразной, первообразные рациональных функций и некоторых специальных выражений.

Глава 8. Определённый интеграл

Суммы Дарбу и интеграл Римана: условия существования интеграла и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла. Основные методы вычислений интеграла: формула Ньютона-Лейбница, метод замены переменной, метод интегрирования по частям, простейшие квадратурные формулы. Приложения интеграла в задачах аналитической геометрии и механики.

Глава 9. Несобственный интеграл

Несобственный интеграл по промежутку. Критерии сходимости, абсолютная сходимость, связь с числовыми рядами. Критерий Абеля-Дирихле.

Глава 10. Функциональные последовательности и ряды

Пототечная и равномерная сходимость последовательностей функций. Теоремы о непрерывности, интегрируемости, дифференцируемости предельных функций. Критерий равномерной сходимости функциональных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда. Ряды Тейлора. Сходимость в среднем квадратичном и её связь с равномерной сходимостью функциональной последовательности. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении функций многочленами.

Раздел II. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных

Глава 11. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных

Пространство Rn. Евклидово расстояние. Предел последовательности. Открытые и замкнутые множества. Отображение в конечномерных евклидовых пространствах. Предел и непрерывность отображений в евклидовых пространствах. Теоремы о пределе и непрерывности композиции отображений. Предел функции многих переменных по подмножеству. Теоремы о существовании повторного предела и перестановке предельных переходов. Теоремы Вейерштрасса, Коши и Кантора о функциях непрерывных на компакте в Rn. Дифференцируемость функции. Частные производные. Первый дифференциал. Дифференцирование композиции отображений. Инвариантность первого дифференциала. Геометрическая интерпретация первого дифференциала и градиента функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Правила дифференцирования. Формула Тейлора. Теорема о неявной функции и системы неявных функций. Теоремы о дифференцируемых отображениях. Теоремы о системах зависимых и независимых функций. Анализ экстремума функций многих переменных с помощью производных. Безусловный и условный экстремум функции.

Глава 12. Кратные интегралы

Интеграл Римана по n-мерному промежутку. Необходимое условие интегрируемости. Критерий Дарбу. Мера Жордана множеств в Rn. Интеграл Римана по ограниченному множеству. Свойства кратного интеграла Римана. Теорема Фубини. Замена переменных в кратном интеграле. Несобственные кратные интегралы. Критерии существования несобственного интеграла.

Глава 13. Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода в Rn. Ориентация кривой. Криволинейный интеграл второго рода. Условия независимости интеграла по пути. Формула Грина. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода. Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл второго рода. Интегральные формулы Гаусса-Остроградского и Стокса. Элементы теории поля. Поток поля через поверхность. Циркуляция векторного поля. Потенциальное и соленоидальное поля. Понятие о дифференциальных формах, операции над ними. Внешний дифференциал. Интеграл от формы по многообразию. Общая формула Стокса.

Глава 14. Интегралы, зависящие от параметров

Собственные интегралы, зависящие от параметров. Теоремы о равенстве повторных пределов по базе. Предельный переход под знаком интеграла. Теоремы об интегрировании и дифференцировании по параметру. Равномерная сходимость несобственных кратных интегралов, зависящих от параметра. Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости несобственных интегралов по параметру.

Раздел III. Элементы теории функциональных пространств

Глава 15. Интеграл Лебега

Структура открытых и замкнутых множеств. Внешняя мера. Измеримые по Лебегу множества. Измеримые функции, их свойства. Теоремы о последовательностях измеримых функций (Лебега, Рисса, Егорова, Лузина). Интеграл Лебега ограниченных функций, его свойства. Связь интегралов Римана и Лебега. Суммируемые функции. Пространство Лебега (L). Свойства суммируемых функций: теоремы Лебега, Леви, Фату о последовательностях суммируемых функций. Полнота L.

Глава 16. Интеграл Стилтьеса

Функции ограниченной вариации. Представления функции ограниченной вариации. Определение интеграла Стилтьеса. Его свойства. Понятие об абстрактном пространстве с мерой и интеграле Радона.

Глава 17. Метрическое пространство

Полнота и пополнение метрического пространства. Компактные и сепарабельные пространства. Критерии компактности. Теорема Арцела. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Теорема о сжимающем отображении. Топологические пространства, метризуемость.

Глава 18. Линейное пространство

Нормированное пространство. Полунорма и норма. Банахово пространство. Пространства B, C, Lp, lp. Сопряженные пространства. Линейные операторы. Слабая компактность. Дифференцируемые отображения.

Глава 19. Гильбертово пространство

Пространство со скалярным произведением. Пространства l2 и L2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве. Полные системы. Ряды Фурье. Базис в сепарабельном гильбертовом пространстве. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. Линейные функционалы на гильбертовых пространствах. Линейные функционалы на гильбертовых пространствах. Теорема Рисса о представлении линейного функционала.

Глава 20. Классические ряды Фурье и преобразование Фурье

Коэффициенты Фурье. Интеграл Дирихле. Принцип локализации. Сходимость ряда Фурье дифференцируемых и кусочно-дифференцируемых функций. Экстремальное свойство коэффициентов ряда Фурье, неравенство Бесселя. Теоремы Фейера и Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций. Равенство Парсеваля. Комплексная запись ряда Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.

Составитель: д.ф.-м.н., проф. М.А.Скопина

Учебная литература
  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа
  2. Зорич В.А. Математический анализ.
  3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
  5. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.
  6. Скопина М.А. Поверхностные интегралы (методическое пособие). На URL: http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/skopina
  7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
Дополнительная литература
  1. Никольский С.М. Курс математического анализа.
  2. Хавин В.П. Основы математического анализа.
  3. Рудин У. Основы математического анализа.
  4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной
  5. Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации.
  6. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.
  7. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу.
  8. Ляшко И.И. и др. Математический анализ в примерах и задачах.
  9. Макаров Б.М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу.

Глава 1. Введение

Множества, отношения принадлежности, включения, равенства; действия: над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, прямое произведение. Аксиоматическое определение вещественных чисел, их свойства. Натуральные числа и их свойства, принцип математической индукции. Числовые множества, существование верхней и нижней граней, свойство Архимеда. Определение отображения, понятия инъекции, сюръекции, биекции, сужения, суперпозиции, обратного отображения.

Глава 2. Числовые последовательности

Определение конечного и бесконечного предела последовательности, их простейшие свойства. Теоремы об ограниченности сходящейся последовательности и о существовании предела у монотонной последовательности. Подпоследовательности, теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Арифметические операции с последовательностями и их пределами. Верхний и нижний пределы, теорема о их существовании. Теорема Штольца. Число e, доказательство его иррациональности. Представление вещественного числа в виде бесконечной десятичной дроби. Счетные и несчетные множества, счетность множества рациональных чисел,. теорема Кантора о несчетности отрезка.

Глава 3. Предел функции

Предел функции по базе. Примеры конкретных баз, перефразировка определения предела для этих баз "на языке эпсилон-дельта" (включая понятия конечного и бесконечного предела в точке и на бесконечности, односторонних пределов). Критерий Коши существования предела по базе. Свойства предела функции по базе. Определение предела функции по Гейне, равносильность двух определений. .Теорема о существовании предела монотонной функции на конце интервала. Критерий существования предела функции в точке в терминах односторонних пределов.. Предел суперпозиции.

Глава 4. Непрерывные функции

Определение непрерывности в точке и на множестве. Теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями и о суперпозиции непрерывных функций. Теорема Коши. Непрерывность обратной функции. Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на отрезке. Введение элементарных функций, их исследование на непрерывность. Замечательные пределы. Сравнение функций, символы "О" и "о", функции одного порядка.

Глава 5. Дифференцируемые функции

Определения производной и дифференциала. Критерий дифференцируемости. Геометрический смысл производной. Вычисление производной суммы, произведения, частного, обратной функции и суперпозиции. Вычисление производной элементарных функций. Теоремы Ферма и Ролля, формулы Коши и Лагранжа. Правило Лопиталя . Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Теорема о невозможности приблизить функцию многочленом точнее, чем многочленом Тейлора, остаточные члены формулы Тейлора в форме Лагранжа и Коши. Разложения элементарных функций по формуле Тейлора. Исследование монотонности дифференцируемой функции, ее точек экстремума и роста/убывания. Выпуклые функции. Теорема об односторонних производных выпуклой функции. Два критерия выпуклости дифференцируемой функции на интервале. Точки перегиба Сумматорные неравенства Иенсена и Гельдера.

Глава 6. Функции, непрерывные на компактах

Открытые и замкнутые множества на прямой Понятие компакта. Два критерия компактности на прямой. Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте. Равномерная непрерывность, теорема Кантора о функции, непрерывной на компакте. Модуль непрерывности функции, заданной на отрезке, его свойства. Теорема о приближении непрерывных функций многочленами Бернштейна .Теорема Вейерштрасса. о приближении функции алгебраическими многочленами. Теорема Вейерштрасса. о приближении периодической функции тригонометрическими многочленами.

Глава 7. Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Глава 8. Интеграл Римана

Определение интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости функции. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Свойства интегрируемых функций. Теорема о среднем значении. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций. Интеграл с переменным верхним пределом от интегрируемых и непрерывных функций. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла. Абстрактное определение определенного интеграла. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Вторая теорема о среднем значении (теорема Бонне).

Глава 9. Несобственный интеграл

Определение и свойства несобственного интеграла. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Признаки сравнения. Признак сходимости Дирихле. Сходимость интеграла в смысле главного значения.

Глава 10. Некоторые приложения интегралов и интегральные неравенства

Существование тригонометрических функций. Формула Валлиса. Формулы Эйлера-Маклорена и Стирлинга. Формула Тейлора с интегральным остаточным членом. Интегральные неравенства Иенсена., Коши-Буняковского и Чебышева. Г-функция и ее свойства. Вычисление интеграла Эйлера.

Глава 11. Числовые ряды

Определение суммы числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда. Гармонический ряд. Признаки сравнения. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Признаки сходимости Раабе и Гаусса . Абсолютная сходимость числового ряда, свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема о почленном перемножении числовых рядов. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Преобразование Абеля, признаки сходимости Абеля и Дирихле Теорема Римана о перестановке членов ряда. Суммируемость числовых рядов. Методы суммирования Абеля-Пуассона и (С,1). Теорема тауберова типа о сходимости (С,1)-суммируемого ряда. Бесконечные произведения. Три определения сходимости кратного числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда по Прингсхейму. . Критерий сходимости (в трех смыслах) двойного ряда с неотрицательными членами. Абсолютно сходящиеся двойные ряды. Теорема о перестановке членов двойного абсолютно сходящегося ряда. Теорема о сходимости повторного ряда.

Глава 12. Функциональные последовательности и ряды

Определение и свойства равномерной сходимости функциональной последовательности. Критерий Коши. Равномерная сходимость функционального ряда. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Теорема о непрерывности предельной функции равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося ряда. Предельный переход под знаком интеграла. Почленное интегрирование рядов. Предельный переход под знаком производной. Почленное дифференцирование рядов. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда, его существование. Вторая теорема Абеля. Формула Коши-Адамара. Определение аналитической функции. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Глава 13. Метрические порстранства

Определение метрического пространства, примеры. Открытые и замкнутые множества. Сходимость в метрическом пространстве. Полное пространство. Компакты, два критерия компактности.

Глава 14. Непрерывные и дифференцируемые функции нескольких переменных

Конечномерное евклидово пространство, критерий компактности в нем. Непрерывные функции нескольких переменных. Теоремы Вейерштрасса и Кантора. Непрерывность суперпозиции. Теорема о функции, непрерывной в области. Понятия дифференцируемой функции, дифференциала и частной производной. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Теоремы о представлении приращения функции, дифференцируемой на открытом множестве.. Частные производные и дифференцируемость суперпозиции. функций многих переменных. . Вектор-функции,. производная суперпозиции вектор-функций. Производные по направлению. Производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Две теоремы о неявных функциях. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, формула конечных приращений. Необходимое условие экстремума. Условный экстремум, метод подстановки и метод Лагранжа.

Глава 15. Интегралы, зависящие от параметров

Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра. Предельный переход под знаком интеграла. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Теорема Вейерштрасса и признак Дирихле. Теоремы о предельном переходе и непрерывности для несобственных интегралов, зависящих от параметра. .Теоремы о дифференцировании и интегрировании несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Глава 16. Теория меры

Полукольца и алгебры множеств. Счетно-аддитивные функции множеств. определение меры и ее простейшие свойства. Внешняя мера. Теорема о внешней мере, порожденной мерой, заданной на полукольце. Теорема о мере, порожденной внешней мерой. Свойства *- измеримых множеств. Теорема Каратеодори о распространении меры с полукольца на -алгебру. Свойство полноты меры. Полукольцо ячеек. Построение меры Лебега в евклидовом пространстве. Теорема о представлении открытого множества в виде объединения ячеек. Измеримые по Лебегу множества и их простейшие свойства. Измеримость открытых и замкнутых множеств, параллелепипедов, не более чем счетных и борелевых множеств. Множеств типа G и F .

Глава 17. Интеграл Лебега

Измеримые функции и их простейшие свойства. Измеримость модуля, линейной комбинации, произведения и частного измеримых функций. Измеримость предельной функции последовательности измеримых функций. Приближение измеримой функции простыми. Понятия сходимости почти везде и по мере, их простейшие свойства. Теоремы Лебега и Рисса о связи сходимости по мере и почти везде. Теорема об устойчивости сходимости. Теорема о регуляторе сходимости. Теоремы Егорова и Фреше. Теорема Лузина (без доказательства). Суммы Лебега-Дарбу и их свойства. Определение интеграла Лебега от ограниченной функции по множеству конечной меры, его свойства. Теорема об интегрируемости измеримой функции.. Интеграл Лебега от неотрицательной функции и его свойства.. Понятия интеграла Лебега (общий случай) и суммируемой функции. Свойства интеграла Лебега: (общий случай). Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема Леви (два варианта). Почленное интегрирование рядов с неотрицательными членами. Теорема Фату.. Теорема о подграфике измеримой неотрицательной функции (геометрический смысл интеграла Лебега в евклидовом пространстве). Теоремы Фубини и Тонелли. Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении .Теорема о мере, порожденной диффеоморфизмом (общая формула замены переменной в интеграле Лебега).. Плотность меры. Лемма Витали. Две леммы о производной меры. Теорема о плотности меры, порожденной диффеоморфизмом. Формула замены переменной в интеграле Лебега в евклидовом пространстве. Нижняя и верхняя функции Бэра. Сравнение интеграла Римана с интегралом Лебега для функций одной переменной. Сравнение несобственного интеграла с интегралом Лебега .

Глава 18. Поверхностные интегралы

Определение поверхности. Свойство отображения, задающего поверхность. Мера Лебега на поверхности. Геометрический смысл меры Лебега на поверхности. Независимость меры Лебега от способа задания поверхности. Измеримые функции, заданные на поверхности. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Определение многообразия (без края). Измеримые множества на многообразии. Мера Лебега и поверхностный интеграл первого рода на многообразии. Определение дифференциальной формы, отношение равенства и арифметические действия над дифференциальными формами. Дифференциал от дифференциальной формы. Вычисление дифференциала произведения и второго дифференциала. Замена переменной в дифференциальной форме. Ориентация поверхности. Поверхностный интеграл второго рода (интеграл от дифференциальной формы), его независимость от способа задания ориентированной поверхности. Замена переменной в поверхностном интеграле второго рода. Симплексы, грани и вершины симплексов. Определение согласования ориентации симплекса и его граней, его корректность. Теорема об ориентации симплексов, лежащих по разные стороны от их общей грани. Вычисление интеграла от дифференциальной формы по грани симплекса, доказательство теоремы Стокса для стандартного симплекса. Поверхностные симплексы, теорема Стокса для поверхностного симплекса. Теорема Стокса для простой d-мерной области, ее частные случаи: формулы Грина, Остроградского-Гаусса и Стокса.

Глава 19. Банаховы и гильбертовы пространства.

Линейные и нормированные пространства, примеры. Пространства L_p(E), теорема о полноте пространства L_p(E).. Неравенство Гельдера. Теорема о плотности финитных бесконечно дифференцируемых функций в L_p(R^d). . Унитарные пространства, примеры. Ортогональные системы. Счетность ортогональной системы в сепарабельном унитарном пространстве. Теорема об ортогонализации. Ряд Фурье по ортогональной системе. Оценка уклонения частичной суммы ряда Фурье и неравенство Бесселя. Полные и замкнутые ортогональные системы. Гильбертово пространство. Теорема Рисса-Фишера. Критерий полноты ортогональной системы. Ортогональный базис в гильбертовом пространстве. Ортогональное дополнение к подпространству гильбертова пространства. Линейные операторы. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма оператора. Функционалы. Сопряженное пространство. Теорема об обшей форме функционала в гильбертовом пространстве. Понятие об обобщенных функциях.

Глава 20. Тригонометрические ряды Фурье и преобразование Фурье

Тригонометрическая система в вещественной и комплексной формах, ее ортогональность. Ряды Фурье по тригонометрической системе, ядро Дирихле. Пространства периодических функций, лотность пространства С в пространствах L_p. Модуль непрерывности периодической функцуии, его свойства. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами. Существование полинома наилучшего приближения. Полнота тригонометрической системы. Теорема Джексона (без доказательства). Суммирование ряда Фурье методом Фейера по норме (в L_p или С) и в точке непрерывности или разрыва первого рода. Суммирование ряда Фурье методом Валле Пуссена. Теорема Римана-Лебега (о коэффициентах Фурье). Оценка скорости убывания коэффициентов Фурье гладких функций и функций ограниченной вариации. Абсолютная сходимость рядов Фурье. Сходимость ряда Фурье в L_2, равенство Парсеваля для тригонометрической системы и его обобщения. Признак Дини и принцип локализации. Сходимость ряда Фурье в точке при наличии односторонних производных и для функций ограниченной вариации (признак Дмрихле-Жордана). Неравенство Лебега. Теоремы Рисса и Карлесона о сходимости рядов Фурье в L_p и почти везде (без доказательства). Теорема о тригонометрическом ряде, сходящемся в L. Теорема о почленном интегрировании ряда Фурье. Преобразование Фурье суммируемой функции. Теорема Римана-Лебега для преобразования Фурье. Модуль непрерывности в пространстве функций, суммируемых на оси. Лемма об уклонении средних Абеля.. Формула обращения для суммируемой функции с суммируемым преобразованием Фурье. Дифференцирование преобразования Фурье и преобразование Фурье производной, класс Шварца.. Распространение понятия преобразования Фурье на L_2(R), теорема Планшереля