zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доц. Еремеев В.В.

1. Полиномы и их корни.

Понятие комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение полинома на множители. Полиномы с действительными коэффициентами. Теорема Виета. Наибольший общий делитель.

2. Матрицы и определители.

Матрицы и операции над ними. Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число. Свойства произведения матриц. Определители второго и третьего порядка. Перестановки. Определитель n-го порядка и его свойства. Миноры и их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Блочные матрицы. Определитель произведения двух матриц. Обратная матрица и ее свойства. Обращение ступенчатой матрицы. Ортогональные матрицы. Характеристический полином матрицы. Теорема Гамильтона . Кэли.

3. Линейные пространства.

Векторы. Сумма векторов. Произведение вектора на число. Линейная зависимость и независимость векторов. Линейное пространство. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы. Изоморфизм линейных пространств. Аффинные пространства. Системы координат (аффинные, декартовые, полярные, цилиндрические, сферические). Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение. Евклидовы, нормированные, метрические пространства.

4. Системы линейных уравнений.

Теорема Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Неоднородные системы линейных уравнений. Линейные подпространства. Линейная оболочка множеств. Базис суммы и пересечения линейных подпространств. Уравнения плоскостей и прямых. Геометрический смысл неравенств первой степени. Нормированное уравнение плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей в трехмерном пространстве. Многомерные плоскости. Взаимное расположение многомерных плоскостей.

5. Преобразование координат.

Преобразование декартовых координат на оси, на плоскости и в трехмерном пространстве. Преобразование аффинных координат. Преобразование координат в n-мерном линейном пространстве.

6. Квадратичные формы.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Ранг квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью унитреугольного преобразования. Положительно определенные квадратичные формы. Закон инерции. Собственные значения и собственные векторы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Эрмитовы формы и их свойства.

7. Линии и поверхности второго порядка.

Алгебраические линии и поверхности. Эллипс (каноническое уравнение, исследование формы, параметрические уравнения, эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы). Гипербола (каноническое уравнение, исследование формы, параметрические уравнения, эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы). Парабола. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Преобразование коэффициентов общего уравнения кривой второго порядка при параллельном переносе системы координат. Преобразование коэффициентов общего уравнения кривой второго порядка при повороте системы координат. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Инварианты общего уравнения кривой второго порядка относительно преобразования координат. Исследование общего уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов.

Уравнения поверхностей вращения. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндрические и конические поверхности. Преобразование коэффициентов общего уравнения поверхности второго порядка при параллельном переносе системы координат. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка. Инварианты общего уравнения поверхности второго порядка относительно преобразования координат. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка с помощью инвариантов.

8. Элементы общей теории кривых и поверхностей.

Векторная функция скалярного аргумента. Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл. Векторная функция векторного аргумента. Частная производная. Дифференциал. Понятие кривой. Касательная к кривой. Нормальная плоскость. Соприкасающаяся плоскость. Спрямляющая плоскость. Главная нормаль. Бинормаль. Длина дуги кривой. Естественная параметризация. Кривизна кривой. Кручение кривой. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности.

Учебная литература

Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.
Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1964.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
Ефимов Н.В., Розендорн Э.Г. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981.
Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Лань, 2003.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.. Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1964.
Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд-во МГУ, 1990.