zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Высшая алгебра

Высшая алгебра

Общий курс

Составитель: к.ф.-м.н., доцент Михеев С.Е.

1-й семестр

Лекция 1. Биекция, сюръекция, инъекция, кванторы существования и всеобщности; унарные и бинарные логические операции.

Лекция 2. Отношения порядка и эквивалентности.

Лекция 3. Мощность множества, равномощность, теорема Кантора.

Лекция 4. Комбинаторные пространства, перестановки, размещения, сочетания, вывод формул их мощностей; сочетания с повторениями.

Лекция 5. Мощности множества всех подмножеств, размещений и перестановок с повторениями; бином Ньютона; полином Ньютона.

Лекция 6. Бинарные операции, группоиды, полугруппы, группы Нейтральный элемент группы, обратные элементы, их существование и единственность.

Лекция 7. Связь между полугруппой и группой. Эквивалентное определение группы, Основные алгебраические структуры.

Лекция 8. Геометрическое и алгебраическое определения комплексных чисел.. Их эквивалентность. Проверка аксиом поля для комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль, аргумент и операции с ними.. Формулы Муавра.

Лекция 9. Показательная форма комплексного числа, вывод формулы Эйлера. Логарифм из комплексного числа.

Лекция 10. Кольцо корней из единицы; Первообразные корни, их связь остатками от деления целых чисел..

Лекция 11. Делимость целых чисел. Существование и единственность неполного частного и остатка. Алгоритм Евклида поиска наибольшего общего делителя.

Лекция 12.Линейное представление НОД, приведение его коэффициентов к минимально возможным, оценки таких коэффициентов, получаемых с помощью алгоритма Эвклида.

Лекция 13. Теоремы, получаемые с помощью линейного представления НОД. НОД нескольких чисел. Наименьшее общее кратное. Связь НОД и НОК.

Лекция 14.Свойства сравнений и вычетов. Полная система вычетов и приведенная система вычетов. Поле вычетов. Число вычетов в полной системе вычетов. Теорема. о произведении числа взаимно простого с модулем на вычеты по этому модулю.

Лекция 15. Решение линейных сравнений последовательным способом и помощью китайской теоремы об остатках.

Лекция 16. Функция Эйлера. Т. о произведении числа взаимно простого с модулем на приведенные вычеты. Малая теорема Ферма. Полиномиальные сравнения. Теорема Вильсона

Лекция 17. Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования. Частное и общее решение. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений без обратного хода.

Лекция 18. Трудоемкость метода Гаусса. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений с обратным ходом.

Лекция 19. Идеальный метод Гаусса.

Лекция 20. Кольцо многочленов. Деление многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.

Лекция 21. Линейное представление НОД. Схема Горнера.

Лекция 22. Лемма Даламбера. Основная теорема алгебры.

Лекция 23. Разложение многочлена на неприводимые. Теорема Виета. Кратные корни

Лекция 24. Оценки модуля комплексных корней. Нижние и верхние оценки положительных и отрицательных корней

2-й семестр

Лекция 1. Целочисленные корни. Вычисление рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Лекция 2. Определение матриц. Действия над матрицами. Алгебраические структуры с участием матриц.

Лекция 3. Перестановки и подстановки, четности.

Лекция 4. Аксиоматическое определение определителя. Свойства определителя, вычисление определителей.

Лекция 5. Закон внешней композиции. Теоремы о нулях. Векторные пространства.

Лекция 6. Определение линейной комбинации для модулей и векторных пространств. Линейная независимость. Отношение "линейно выражаться"

Лекция 7. Базис и координаты

Лекция 8. Базы. Разные определения ранга матрицы и их эквивалентность

Лекция 9. Определение квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения к каноническому виду.

Лекция 10. Связь метода Лагранжа и метода Гаусса. Закон инерции квадратичной формы.

Лекция 11. Положительная и отрицательная определенность и полуопределенность. Критерий Сильвестра. Критерии полуопределенности.

Лекция 12. Скалярное произведение. Прямая и обратная теоремы Пифагора. Углы.

Лекция 13. Неравенство Коши-Буняковского. Связь аксиоматического определения с "геометрическим"

Лекция 14. Естественная норма в евклидовом пространстве.

Лекция 15. Ортогональные подпространства, ортогональные проекции и ортогональные составляющие.

Лекция 16. Расстояния между вектором и подпространством, между вектором и линейным многообразием, между многообразиями

Лекция 17. Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица оператора и ее изменение при смене базиса.

Лекция 18. Собственные числа и собственные вектора

Лекция 19. Метод башен построения жордановой формы.

Лекция 20. Обоснование метода башен

Лекция 21. Вещественная форма Жордана

Лекция 22. Билинейные формы, эрмитовы формы связь их с квадратичными формами. Унитарные пространства

Лекции 23. Нормальные и перестановочные операторы.

Лекция 24. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах.

Основная литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
  2. Проскуряков И.В.. Сборник задач по линейной алгебре, 1966.
  3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
  4. Окунев Л.Я. Cборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964.
  5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.

Дополнительная литература

  1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
  2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
  3. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М. "Мир" 1971.
  4. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
  5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
  6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
  7. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
  8. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
  9. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.
  10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1970.
  11. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969.