zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Высшая алгебра

Высшая алгебра

Общий курс

Составители: к.ф.-м.н., доцент Екимов А.В., д.ф.-м.н., профессор Утешев А.Ю.

Раздел I. Решение уравнений и систем уравнений

Основная литература
  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
  2. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
  3. Окунев Л.Я. Cборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964.
  4. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  5. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.

Глава 1. Начала теории целых чисел

Дополнительная литература:
Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
1.1. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.
1.2. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД, континуанта.
1.3. Делимость чисел. Взаимно простые числа. Простые числа. Каноническое разложение числа. Признаки делимости. Факторизация.
1.4. Функция Эйлера.
1.5. Сравнения. Алгоритм ``квадрирования--умножения''. Классы вычетов. Теоремы Ферма и Эйлера.
1.6. Решение сравнений с одним неизвестным. Нахождение обратного по модулю. Теорема Вильсона. Китайская теорема об остатках.

Глава 2. Комплексные числа

2.1. Определение, равенство, алгебраические действия. Запись. Комплексное сопряжение. Геометрическая интерпретация.
2.2. Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия с к.ч., представленными в триг. форме. Неравенства для модуля. Формула Муавра. Преобразование триг. выражений с помощью формулы Муавра.
2.3. Показательная форма записи к.ч. Действия с к.ч., представленными в показ. форме. Логарифм к.ч.
2.4. Извлечение корня из к.ч. Сведение к решению системы нелинейных уравнений; решение квадратных уравнений; тригонометрическая форма. Корни из единицы, первообразные корни.

Глава 3. Полиномы от одной переменной

3.1. Определения. Форма записи, моном, степень, равенство, приведение подобных, сложение,умножение. Схема Хорнера.
3.2. Корни полинома. Основная теорема высшей алгебры (формулировка). Разложение на линейные множители. Формулы Виета. Кратность корня.
3.3. Решение уравнений 3-й и 4-й степени.
3.4. Делимость полиномов. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Сравнения в кольце полиномов, классы вычетов. Взаимная простота полиномов. Тождество Безу.
3.5. Формула Тейлора.
3.6. Выделение кратных корней. Установление условий наличия и кратности кратного корня. Решение уравнений, имеющих кратные корни.
3.7. Корни полинома с вещественными коэффициентами. Приводимость. Границы расположения корней (оценки Маклорена, Лагранжа, Ньютона). Геометрия вещественных корней. Правило знаков Декарта.
3.8. Приводимость полиномов в Q. Условия существования рациональных корней. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
3.9. Численные методы нахождения корней полинома: Руффини--Хорнера, Лагранжа, Ньютона.
3.10. Рациональные дроби. Разложение на простейшие над C и R. Формула Лагранжа.

Глава 4. Матрицы и определители

Дополнительная литература:
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
4.1. Решение систем линейных уравнений: метод Гаусса. Совместность.
4.2. Матрицы, действия над ними: линейные, умножение, транспонирование, матричный полином, блочные матрицы, обращение.
4.3. Определение определителя. Определители 2x2, 3x3, геометрический смысл. Определение определителя nxn. Перестановки.
4.4. Свойства определителя. Разложение определителя по строке (столбцу). Метод Гаусса.
4.5. Решение систем линейных уравнений: формулы Крамера.
4.6. Теорема Лапласа. Определитель ступенчатой матрицы.
4.7. Теорема Бине-Коши. Неравенство Коши.
4.8. Определители специального вида: Вандермонда, ганкелев (Гильберта), ленточный, характеристический полином.
4.9. Обратная матрица и способы ее нахождения.
4.10. Ранг системы рядов. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга: окаймление миноров, элементарные преобразования. Ранг произведения матриц: неравенство Сильвестра.
4.11. Теорема Кронекера--Капелли. Совместность линейной системы. Общее решение. Однородная система: фундаментальная система решений.

Глава 5. Некоторые алгебраические структуры

Дополнительная литература:
Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М. ``Мир'' 1971.
5.1. Группа. Бинарная операция. Полугруппа, группа, примеры групп. Образующие элементы группы, циклическая группа, порядок элемента в группе. Подгруппа. Изоморфизм групп.
5.2. Кольцо, поле, алгебра. Кватернионы.

Глава 6. Интерполяция

6.1. Интерполяционный полином, его существование и единственность. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и Ньютона.
6.2. Общая интерполяционная задача. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра.
6.3. Приближенная интерполяция. Метод наименьших квадратов. Псевдорешение линейной системы.

Глава 7. Системы нелинейных уравнений от нескольких переменных. Исключение

Дополнительная литература:
Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. СПб.: СПбГУ, 1997.
7.1. Результант и дискриминант.
7.2. Субрезультанты. Линейное представление НОД. Преобразование Чирнгауза.
7.3. Полиномы от нескольких переменных. Исключение.
7.4. Симметрические полиномы. Основная теорема о симметрических полиномах.
7.5. Теорема Безу. Задача многомерной интерполяции; эквидистанта.
7.6. Доказательство основной теоремы высшей алгебры.

Глава 8. Локализация корней полинома

8.1. Система полиномов Штурма. Ее построение по алгоритму Евклида. Число вещественных корней полинома.
8.2. Ганкелевы матрицы в задаче локализации корней. Суммы Ньютона. Теоремы Якоби и Йоахимшталя.
8.3. Устойчивость полинома. Теоремы Рауса, Льенара--Шипара. Теорема Шура--Кона.

Глава 9. Полиномиальные матрицы

Дополнительная литература:
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.
Екимов А.В., Смирнов Н.В. Алгебраическая теория нормальных форм матрицы. Функции от матрицы. СПб.: СПбГУ, 1995.
9.1. Действия с полиномиальными матрицами. Деление с остатком. Обобщенная теорема Безу.
9.2. Структура и свойства характеристического полинома. Теорема Гамильтона-Кэли. Характеристический и минимальный полиномы матрицы. Связь между ними.
9.3. Каноническая форма Смита. Инвариантные полиномы и элементарные делители.
9.4. Построение канонических форм матрицы. Жорданова нормальная форма, первая и вторая естественная нормальная форма.

Глава 10. Специальные типы матриц

Дополнительная литература:
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982
10.1. Подобие матриц. Свойства преобразования подобия. Инвариантные полиномы и элементарные делители подобных матриц. Собственные числа и собственные векторы подобных матриц.
10.2. Матрицы простой структуры. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа. Критерий диагонализуемости, связанный с минимальным полиномом матрицы.
10.3. Симметрические и эрмитовы матрицы. Собственные числа и собственные векторы. Экстремальное свойство собственных чисел. Диагонализация. Кососимметрические и косоэрмитовы матрицы.
10.4. Ортогональные и унитарные матрицы. Основные свойства. Унитарная эквивалентность.
10.5. Перестановочные матрицы. Одновременная диагонализация перестановочных симметрических матриц. Нормальные матрицы.

Глава 11. Квадратичные формы

11.1. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
11.2. Приводимость квадратичной формы к каноническому виду треугольным преобразованием. Формула Якоби.
11.3. Конгруэнтность кв. форм. Ранг и сигнатура кв. формы. Закон инерции кв. форм.
11.4. Приводимость кв. формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.
11.5. Положительная определенность кв. форм. Критерий Сильвестра.
11.6. Одновременное приведение двух кв. форм к каноническому виду. Пучок квадратичных форм.
11.7. Эрмитовы формы. Приведение к каноническому виду. Положительная определенность.

Глава 12. Функции от матрицы и их применения

Дополнительная литература:
Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. М.: Высшая школа, 1971.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
12.1. Определение функции от матрицы.
12.2. Спектральное разложение функции от матрицы. Компоненты и их свойства.
12.3. Представление функции от матрицы рядами. Сходимость матричных рядов. Матричные аналоги известных тождеств.
12.4. Экспоненциал матрицы, спектральное разложение. Матричные синус и косинус.
12.5. Применения функций от матрицы. Решение линейного разностного уравнения. Задача о разорении игрока. Цепи Маркова. Решение системы линейных дифференциальных уравнений; устойчивость.

Раздел II. Линейные пространства и отображения

Основная литература
  1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971.
  2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
  4. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
  5. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. М.: Наука, 1975.
  6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1970.

Глава 1. Линейные пространства и многообразия

Дополнительная литература:
Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969.
1.1. Линейные пространства. Изоморфизм.
1.2. Линейная зависимость, базис, размерность. Линейная оболочка. Система АХ=0 и ее фундаментальная система решений.
1.3. Сумма и пересечение линейных подпространств. Построение базиса суммы и пересечения. Система АХ=В. Линейные многообразия, их геометрический смысл.
1.4. Прямая сумма линейных подпространств. Прямое дополнение.
1.5. Относительная линейная независимость. Факторпространство. Относительный базис.
1.6. Преобразование координат при замене базиса.

Глава 2. Евклидовы и унитарные пространства

2.1. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
2.2. Ортогональность, ортонормированный базис. Ортогонализация базиса.
2.3. Ортогональные дополнение и проекция. Расстояние до линейного многообразия.
2.4. Свойства определителя Грама. Неотрицательность, использование для нахождения расстояния, неравенство Адамара, геометрическая интерпретация.
2.5. Унитарное пространство.

Глава 3. Линейные отображения

Дополнительная литература:
Екимов А.В., Смирнов Н.В. Геометрическая теория нормальных форм матрицы линейного оператора. СПб.: СПбГУ, 1996.
3.1. Пространство линейных отображений.
3.2. Ядро и образ линейного отображения. Дефект и ранг.
3.3. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы при переходе к другой паре базисов.
3.4. Линейный оператор.
3.5. Инвариантные подпространства оператора. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Характеристический полином. Оператор простой структуры. Диагонализуемость матрицы лин.оператора над C и R.
3.6. Расщепление пространства. Минимальный полином вектора и пространства. Относительный минимальный полином. Расщепление в прямую сумму инвариантных подпространств.
3.7. Циклические подпространства. Циклический базис. Критерий цикличности. Расщепление в прямую сумму циклических подпространств. Нерасщепимость.
3.8. Первая и вторая естественная нормальная форма матрицы линейного оператора.
3.9. Жорданова нормальная форма в C. Корневое подпространство. Высота корневого вектора.
3.10. Жорданова нормальная форма в R. Комплексификация вещественного линейного пространства.

Глава 4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах

Дополнительная литература:
Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.
4.1. Сопряженный оператор. Матрица сопряженного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Теорема Шура. Теорема Фредгольма о совместности линейной неоднородной системы.
4.2. Эрмитов оператор. Спектральное разложение. Положительная определенность. Косоэрмитов оператор.
4.3. Унитарный оператор. Разложения Кэли.
4.4. Нормальный оператор. Ортонормированный базис из собственных векторов.
4.5. Сингулярные числа и сингулярные базисы линейных отображений. Сингулярное разложение матрицы.
4.6. Полярное разложение линейного оператора.
4.7. Псевдообратный оператор. Запись в сингулярных базисах.
4.8. Нормальные операторы в евклидовом пространстве. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы.

Глава 5. Метрические свойства линейного оператора

Дополнительная литература:
Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.
5.1. Нормированное пространство. Сходимость по норме и покоординатная сходимость.
5.2. Векторные нормы в арифметическом линейном пространстве. Эквивалентность.
5.3. Полунормы и квазинормы. Двойственные нормы.
5.4. Непрерывность и ограниченность линейного оператора.
5.5. Норма линейного оператора. Согласованная норма. Спектральная норма.
5.6. Матричные нормы линейного оператора.

Глава 6. Элементы численных методов линейной алгебры

6.1. Методы нахождения характеристического полинома (Леверье-Фаддеева, Крылова).
6.2. Частичная проблема собственных чисел.