zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Образование  » Программы курсов » Высшая алгебра

Высшая алгебра

Общий курс, вечернее отделение

Составители:
доктор физ.-мат.наук проф. Г.И.Курбатова

Часть I. Алгебраические структуры (общие понятия)

Элементы математической логики.
Высказывание; таблицы истинности логических операций; свойства логических операций.

Множества ; способы задания; равенство; пересечение, дополнение; разбиение множеств; декартово произведение множеств; мощность конечных множеств. Счетные и несчетные множества.

Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения и перестановки; свойства сочетаний, треугольник Паскаля, бином Ньютона, мощность множества всех подмножеств конечного множества.

Бинарные отношения. Отношения эквивалентности, классы эквивалентности; фактор-множество; сравнение по модулю; классы вычетов по модулю m; алгебраические операции с классами вычетов; фактор-множество множества целых чисел по отношению сравнения по модулю m.

Отображения. Образы элемента, подмножества, отображения. Инъективное, сюръективное, биективное отображения; равенство, композиция отображений (ее свойства). Левое обратное, правое обратное, обратное отображения, их свойства. Бинарная операция.

Группы. Аксиоматическое определение группы. Мультипликативная и аддитивная формы записи; простейшие свойства групп. Примеры конечных групп: группа классов вычетов по модулю m, симметрическая группа; подстановки, транспозиция, инвариантность четности подстановки. Подгруппы, свойства подгрупп. Циклические группы. Классы смежности и теорема Лагранжа. Порядок группы, порядок элемента группы. Сопряженность элементов и подгрупп в группе. Нормальный делитель и факторгруппа.

Морфизмы групп. Гомоморфизм, ядро и образ гомоморфизма групп. Мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм, эндоморфизм и автоморфизм групп. Изоморфность циклических групп одного и того же порядка. Изоморфность любой конечной группы некоторой подгруппе симметрической группы (теорема Кэли). Теорема о гомоморфизме (гомоморфный образ группы изоморфен фактор группе по ядру гомоморфизма).

Кольца и поля. Аксиоматические определения кольца, коммутативного кольца, кольца с единицей, тела, поля. Свойства колец. Примеры колец. Кольцо классов вычетов по модулю m. Примеры конечного поля. Делители нуля в кольце; целостное кольцо. Подкольцо, подтело, подполе.

Морфизмы колец и полей. Определение и свойства гомоморфизма колец. Определения и свойства ядра и образа гомоморфизма колец. Изоморфизм колец и полей. Ядро гомоморфизма полей. Характеристика поля.

Векторное пространство; алгебра.

Поле комплексных чисел. Определение поля комплексных чисел и операций сложения, вычитания, умножения и деления в нем. Геометрическая интерпретация, тригонометрическая форма, модуль и аргумент комплексных чисел, геометрическая интерпретация операций с комплексными числами. Операция комплексного сопряжения и ее свойства. Модуль комплексного числа, свойства. Возведение в степень и извлечение корня n-й степени. Геометрическая интерпретация корней n-й степени из комплексного числа. Первообразные корни n-й степени из единицы. Циклическая группа корней n-й степени из единицы.

Основная литература к части I

  1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М. 1994. 320 с.
  2. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М. 1968. 433 с.
  3. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977.

Дополнительная литература к части I

  1. Н.К.Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств. М. 1999. 128 с.
  2. И.М.Виноградов. Основы теории чисел. М.-Л. 1949. 180 с.
  3. В.В.Ишханов, В.И.Мысовских, А.И.Скопин. Теория групп. СПб. 1997. 52 с.
  4. Дж.Кемени и др. Введение в конечную математику. М. 1965. 487 с.
  5. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М. 1979. 623 с.

Часть II. Кольцо многочленов

Многочлены от одной переменной; образующий элемент кольца многочленов; равенство, сложение и умножение многочленов; степень, ее свойства. Алгоритм деления с остатком. Теорема Безу; схема Горнера.

Делимость в кольце целых чисел и в кольце многочленов. Свойства отношения делимости. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное в кольцах. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены.

Мультипликативное разложение в кольце многочленов. Неприводимый многочлен, ассоциированный многочлен, разложение любого отличного от константы многочлена в произведение неприводимых. Каноническое разложение многочленов над полями комплексных и вещественных чисел.

Дифференцирование в кольце многочленов. Определение и свойства операции дифференцирования; кратные множители; отделение кратных множителей.

Корни многочленов. Корень многочлена, кратность корня. Линейные множители. Алгебраически замкнутые поля. Формулировка основной теоремы алгебры. Выражение коэффициентов многочлена через его корни (формулы Виета). Неприводимые многочлены над полями комплексных и вещественных чисел. Свойства корней многочленов (над полем комплексных чисел), имеющих только вещественные коэффициенты.

Интерполяция. Существование и единственность интерполяционного многочлена наименьшей степени. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Рациональные дроби

Поле рациональных дробей. Правильные дроби, простейшие дроби. Представление дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби, единственность. Разложение правильной дроби в сумму простейших над полями вещественных и комплексных чисел (формула Лагранжа).

Основная литература к части II

  1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М. 1994. 320 с.
  2. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М. 1968. 433 с.
  3. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977.

Часть III. Матрицы

Равенство, сложение, умножение на скаляр, произведение прямоугольных матриц с элементами из поля. Свойства операций сложения и умножения матриц. Транспонирование, свойства операции транспонирования. Кольцо квадратных матриц. Обратимые матрицы, группа обратимых матриц. Элементарные матрицы, их действие на прямоугольные матрицы при умножении слева и справа. Выражения элементарных матриц через единичную и матричные единички. Приведение прямоугльных и квадратных матриц к Dr виду. Отношение эквивалентности на множестве прямоугольных матриц. Первое определение ранга матрицы. Неизменность ранга матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при умножении на обратимые матрицы. Ранг транспонированной матрицы. Ранг обратимой матрицы.

Векторное пространство строк. Равенство, сложение, умножение на число срок X; линейная комбинация, линейная зависимость (ЛЗ), линейная независимость (ЛН) системы строк; критерий ЛН, свойства ЛН (ЛЗ) системы строк. Второе определение ранга матрицы как максимального числа ЛН строк. Неизменность максимального числа ЛН строк в матрице при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Эквивалентность первого и второго определений ранга матрицы. Ранг произведения матриц; ранг матриц, разбитых на блоки.

Системы линейных уравнений

Совместность и определенность системы линейных уравнений, матричная форма. Эквивалентные системы. Расширенная матрица. Условие совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Условие единственности решения системы линейных уравнений. Ступенчатый вид прямоугольной матрицы. Приведение любой прямоугольной матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований только строк. Решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Структура решения совместной системы линейных уравнений при бесконечном числе решений.

Система линейных однородных уравнений

Условие существования нетривиальных решений. Фундаментальная система решений. Связь решений неоднородной системы с решениями соответствующей ей однородной системы линейных уравнений.

Определители

Аксиоматическое введение определителя det(A) матрицы A.

Свойства определителя. Определители элементарных матриц и матриц к ним транспонированных; определитель единичной матрицы, диагональных, верхне- и нижне-треугольных матриц; неизменность определителя при транспонировании; определитель матрицы с углом нулей; определитель матрицы, содержащей две равные (две пропорциональные) строки, содержащей нулевую строку. Полилинейность определителя как функции строк матрицы.

Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя матрицы по элементам строки. Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Определитель обратимой матрицы. Взаимная матрица. Выражение обратимой матрицы через взаимную. Определитель Вандермонда.

Формулы Крамера решения системы линейных уравнений AX=B при условии A — обратимая матрица.

Основная литература к части III

  1. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. М. 1977. 496 c.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М. 1984. 416 с.
  3. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977.

Дополнительная литература к части III

  1. Ф.Р.Гантмахер. Теория матриц. М. 1967. 576 с.
  2. З.И.Боревич. Определители и матрицы. Л. 1965. 164 с.

Часть IV. Линейная алгебра

Линейные (векторные) пространства. Аксиомы векторного пространства, их следствия; линейное подпространство. Примеры векторных пространств. Линейная зависимость (ЛЗ), линейная независимость (ЛН) системы векторов. Критерий ЛН; свойства ЛН (ЛЗ) системы векторов. Линейная оболочка. Порождающая система, минимальная порождающая система. Базис. Размерность векторного пространства. Координаты вектора в базисе. Лемма о линейной зависимости линейных комбинаций. Равномощность базисов одного и того же векторного пространства. Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора. Сумма, пересечение и прямая сумма подпространств. Размерность суммы подпространств. Критерии прямой суммы. Линейные многообразия.

Линейные отображения. Линейное отображение из одного векторного пространства в другое; линейный оператор. Ядро и образ линейного отображения, свойства ядра. Изоморфизм векторных пространств одинаковой размерности. Матрица линейного отображения. Векторное пространство линейных отображений. Изоморфизм векторного пространства и пространства прямоугольных матриц. Ранг и дефект линейного отображения.

Линейные операторы. Композиция (произведение) линейных операторов; ассоциативность, дистрибутивность относительно сложения; алгебра линейных операторов над полем P. Матрица линейного оператора. Изоморфизм алгебры линейных операторов и алгебры Mn квадратных матриц (над полем P). Невырожденный (обратимый) линейный оператор; критерии невырожденности. Линейный оператор перехода от базиса к базису. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Подобие матриц линейного оператора в разных базисах. Группа невырожденных линейных операторов. Характеристический многочлен линейного оператора, инваринаты линейного оператора. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора, геометрическая и алгебраическая кратности собственного числа, их связь. Связь коэффициентов характеристического многочлена с собственными числами линейного оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора. Линейный оператор простого спектра. Критерий диагонализируемости линейного оператора. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор. Лемма о делимости характеристического многочлена линейного оператора на характеристический многочлен индуцированного оператора на инвариантном подпространстве. Аннулятор и минимальный многочлен вектора относительно линейного оператора; аннулятор и минимальный многочлен линейного оператора. Минимальное инвариантное подпространство, порожденное вектором, его цикличность. Теорема Гамильтона-Кэли.

Евклидовы и унитарные пространства

Определения евклидового и унитарного пространств. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве, неравенство треугольника. Задание скалярного произведения в произвольном базисе, матрица Грама. Связь матриц Грама в двух базисах. Ортогональные элементы в евклидовых и унитарных пространствах. Линейная независимость попарно ортогональных ненулевых векторов. Процесс ортогонализации Шмидта произвольной ЛН системы строк; ортонормированный базис. Ортогональное дополнение к подпространству евклидового пространства, свойства ортогонального дополнения.

Основная литература к части IV

  1. В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия М. 1998. 320 с.
  2. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. М. 1977. 496 c.
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М. 1984. 416 с.
  4. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977.
  5. И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М. 1999. 384 с.

Дополнительная литература к части IV

  1. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия. М. 1980. 319 с.
  2. Н.В.Ефимов, Э.Р.Розендорн. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. 1970. 528 с.
  3. А.В.Екимов, Н.В.Смирнов. Операторы в линейных и евклидовых пространствах. Ч.1. СПб. 1994. 77 с.
  4. А.В.Екимов, Н.В.Смирнов. Геометрическая теория нормальных форм матрицы линейного оператора. СПб. 1996. 80 с.
  5. Г.И.Курбатова, В.Б.Филиппов. Элементы тензорного исчисления. СПб. 1998. 233 с.

Часть V. Линейные операторы в векторных пространствах над полем комплексных чисел

Существование n вложенных инвариантных подпространств всех размерностей от единицы до n для оператора над C). Теорема о треугольной форме матрицы линейного оператора; теорема Шура.

Нильпотентный оператор, определение; показатель (индекс) нильпонентности; свойства нильпотентного оператора; собственное число, характеристический многочлен.

Корневые подпространства. Определения корневого вектора, высоты корневого вектора, корневого подпространства. Свойства корневых векторов и корневого подпространства. Связь размерности корневого подпространства и высоты корневого вектора с алгебраической кратностью собственного числа.

Жорданова форма матрицы линейного оператора. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств. Матрица линейного оператора на корневом подпространстве; число клеток Жордана и их размер; объединение канонических базисов корневых подпространств и матрица Жордана линейного оператора в этом каноническом базисе.

Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах. Сопряженный линейный оператор, его матрица в ортонормированных и произвольных базисах. Свойства сопряженных линейных операторов. Нормальный оператор; попарная ортогональность собственных векторов, отвечающих разным собственным числам; существование ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве. Определение, матрица, свойства и спектральная характеристика эрмитовых и унитарных операторов в унитарных пространствах и симметричных, антисимметричных и ортогональных операторов в евклидовых пространствах. Группа On ортогональных линейных операторов в евклидовых пространствах.

Определение симметричного положительно определенного линейного оператора и квадратного корня из него. Полярное разложение невырожденного линейного оператора.

Литература к части V

См. литературу к части IV.

Часть VI. Линейные, билинейные и квадратичные формы

Линейные формы; сопряженное векторное пространство и его размерность; теорема Рисса о задании любой линейной формы в евклидовом пространстве как скалярного умножения на некоторый вектор.

Билинейные формы; матрицы билинейных форм, преобразование матрицы при изменении базиса; симметричные и антисимметричные билинейные формы, разложение любой билинейной формы в сумму симметричной и антисимметричной билинейных форм.

Квадратичные формы, их связь с симметричными билинейными формами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (с диагональной матрицей) методом Лагранжа. Нормальный вид квадратичной формы; эквивалентные квадратичные формы. Ранг квадратичной формы. Положительно определенные (отрицательно определенные) квадратичные формы. Закон инерции квадратичных форм над полем вещественных чисел. Связь квадратичной формы и симметричного линейного оператора в евклидовых пространствах. Приведение вещественной квадратичной формы ортогональным преобразованием к каноническому виду. Одновременное приведение пары квадратичных форм (одна из которых положительно определена) к каноническому виду.

Основная литература к части VI

  1. В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия М. 1998. 320 с.
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М. 1984. 416 с.
  3. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977.
  4. И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М. 1999. 384 с.

Дополнительная литература к части VI

  1. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия. М. 1980. 319 с.
  2. В.В.Воеводин. Линейная алгебра. М.1980. 400 с.
  3. Д.В.Беклемишев. Дополнительные главы линейной алгебры. М. 1983. 335 с.

Часть VII. Элементы теории групп

Сопряженность элементов и подгрупп в группе. Нормальные делители. Центр. Коммутант. Группы движений на плоскости и в пространстве. Группа Лоренца. Прямое произведение групп (внешнее произведение). Разложение группы в прямое произведение своих подгрупп (внутреннее произведение). Прямая сумма групп.

Основная литература к части VII

  1. А.Г.Курош. Теория групп. М. 1967.
  2. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре.М. 1977.

Дополнительная литература к части VII

  1. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. М. 1972.
  2. В.В.Ишханов, В.И.Мысовских, А.И.Скопин. Теория групп. СПб. 1997. 52 с.
  3. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М. 1979. 623 с.