zhChinese    enEnglish
  ПМ-ПУ  » Поступающим  » ЕГЭ - часть С

ЕГЭ - часть С

О пользе и вреде единого государственного экзамена можно спорить бесконечно. Мы же, не вступая в полемику, перейдем к практике. Вашему вниманию предлагаются решения некоторых задач, относящихся к "классу" С6. Раздел будет пополняться, следите за обновлениями!

Также вашему вниманию предлагаются задачи по геометрии.

?   Решите в целых числах уравнение $m^4-2n^2=1$.

Решение. Перепишем уравнение в следующе виде:
$2n^2=m^4-1$.
Разложим правую часть на множители:
$2n^2=(m-1)(m+1)(m^2+1)$.
$m$ не может быть четным числом, иначе левая часть последнего равенства делится на $2$, а правая - нет. Преобразуем уравнение с учетом того, что $m$ - нечетно, т.е. $m=2k+1, \ k \in \mathbb Z$.
$2n^2=2k(2k+2)(4k^2+4k+2),$
$n^2=2^2k(k+1)((k+1)^2+k^2)$.
Следовательно, выражение $k(k+1)((k+1)^2+k^2)$ должно быть полным квадратом. $k$ и $k+1$ - последовательные целые числа, они взаимно просты. Кроме того, $(k+1)^2+k^2$ не делится ни на $k$, ни на $k+1$. Значит, $k(k+1)((k+1)^2+k^2)$ может быть полным квадратом только в случае равенства нулю. Имеем следующие возможности:
1) $k=0$, $m=1$ и $n=0$,
2) $k=-1$, $m=-1$ и $n=0$.
Ответ: $m=\pm 1$, $n=0$.

?   Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что и $m^3+n$, и $m+m^3$ делится на $m^2+n^2$. Найдите $m$ и $n$.

Решение. Заметим, что для натуральных $m$ и $n$ справедливы следующие неравенства: $m \le m^2$, $m^2 \ge 1$, $n^2 \ge 1$, а значит, и $m < m^2+n^2$.
По условию, $m+m^3=m(m^2+1) \ \vdots \ m^2+n^2$, а значит, $m^2+1 \ \vdots \ m^2+n^2$. Следовательно, $n^2=1$, т.е. $n=1$.
Далее, $m^3+n=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1) \ \vdots \ m^2+1$. Имеем следующие возможности:
1) $m+1 \ \vdots \ m^2+1$, следовательно, $m=m^2$, т.е. $m=1$.
2) $m^2+1-m \ \vdots \ m^2+1$, следовательно, $m \ \vdots \ m^2+1$, что невозможно.
Ответ: $m=n=1$.

?   Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.

Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения:
$2^n=2^m+p \cdot 10^k$, где $m, n, k \in \mathbb N, \ m < n, n > 3$, $p-$ цифра, т.е.
$2^m(2^{n-m}-1)=p \cdot 10^k.$ (1)

I пусть $p -$ нечетная цифра. $2^{n-m}-1 -$ нечетное число, тогда $m=k$ и $2^{n-m} = p \cdot 5^m +1$.
$p \cdot 5^m +1$ оканчивается на $6$, значит, $n-m=4t, \ t \in \mathbb N$.
Упрощаем (1):
$2^{4t} - 1 = p \cdot 5^m,$
$(4^t-1)(4^t+1)= p \cdot 5^m.$ (2)
Числа $4^t$ оканчиваются на $4$ или на $6$, значит, на $5$ может делиться только одно из чисел $4^t-1$ или $4^t+1$.
Если $m=1$, то имеем два случая:
а) $4^t+1 \ \vdots \ 5$ и $4^t-1 \le 9$. Следовательно, $t=1$, тогда $n=5$ и $32 - $ одно из искомых чисел.
б) $4^t-1 \ \vdots \ 5$ и $4^t+1 \le 9$. Эта система решений в натуральных числах не имеет.
Если $m > 1$, то $4^t-1$ или $4^t+1$ делится на $25$. Следовательно, $t>1$, но тогда $4^t+1$ оказывается числом, а не цифрой, и равенство (2) невозможно.

II $p - $ четная цифра.
а) если $p=2$, то $2^m (2^{n-m}-1)= 2^{k+1} \cdot 5^k$, значит, $m=k+1$ и $2^{n-m} = 5^{m-1} +1$.
Если $m=1$, то $k=0$, но $k \ge 1$. В этом случае решений нет.
Если $m > 1$, то $5^{m-1}+1$ оканчивается на $6$ и $n-m=4t$.
Упрощаем (1):
$2^{4t}-1=5^{m-1}$,
$(4^t-1)(4^t+1)=5^{m-1}.$ (3)
Тогда или $4^t-1 \ \vdots \ 5$ и $4^t+1=1$ (в этом случае решений нет), или  $4^t+1 \ \vdots \ 5$ и $4^t-1=1$ (и в этом случае решений нет).
б) если $p=4$, то $2^m(2^{n-m}-1) = 2^{k+2} \cdot 5^k$, значит, $m=k+2$ и $2^{n-m}-1=5^{m-2}$.
Если $m=2$, то $k=0$, но $k > 0$, в этом случае решений нет.
Если $m > 2$, то $5^{m-2}+1$ оканчивается на 6, и $n-m = 4t$. Получаем уравнение
$(4^t-1)(4^t+1)=5^{m-2}$, которое так же как и уравнение (3) решений в натуральных числах не имеет.
в) если $p=8$, то $2^m(2^{n-m}-1)= 2^{k+3} \cdot 5^k$, значит, $m=k+3$ и $2^{n-m}-1=5^{m-3}$.
Если $m=3$, то $k=0$, решений нет.
Если $m > 3$, то $5^{m-3}+1$ оканчивается на 6, и $n-m=4t$. Уравнение $(4^t-1)(4^t+1)=5^{m-3}$, так же как и уравнение (3), решений в натуральных числах не имеет.
г) если $p=6$, то $2^m(2^{n-m}-1)=2^{k+1}\cdot 3 \cdot 5^k$, значит, $m=k+1$ и $2^{n-m}=1+3 \cdot 5^{m-1}$. Тогда ($m > 1$, иначе $k=0$) $n-m=4t$.
Получаем уравнение $(4^t-1)(4^t+1) = 3 \cdot 5^{m-1}$. Аналогично решению уравнения (2), имеем следующие возможности:
$4^t-1=3$ и $4^t+1 \ \vdots \ 5^{m-1}$, тогда $t=1$ и $m=2$, $n=6$ и $64-$ искомое число.
$4^t+1=3$ и $4^t-1 \ \vdots \ 5^{m-1}$, в этом случае решений нет.
Все варианты рассмотрены, других решений нет.
Ответ:
32, 64.

?   Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?

Решение. Поскольку в произведении участвуют несколько простых сомножителей, то, по крайней мере, один из них, уменьшенный на 1, является четным числом. Единственное простое четное число - это 2, значит, среди сомножителей обязательно есть 2. Все остальные числа в произведении - нечетные.

Пусть $2p_1p_2 \cdot \dots \cdot p_n -$ заданное произведение, $p_1 < p_2 < \dots < p_n - $ простые числа. Рассмотрим число $p_n-1=2q$. По условию $2p_1p_2 \cdot \dots \cdot p_n \ \vdots \ (p_n-1)$, тогда $p_1p_2 \cdot \dots \cdot p_{n-1} \ \vdots \ q$, т.е. $q=p_{i1}p_{i2} \cdot \dots \cdot p_{it}$ и $p_n=2*p_{i1}p_{i2} \cdot \dots \cdot p_{it}+1$. Этим наблюдением мы определили "механизм" формирования искомого произведения путем последовательного увеличения числа сомножителей.

Рассмотрим произведение двух чисел: $2p_1$, где $p_1 > 2 -$ простое число.

$p_1$ и $p_1-1 -$ взаимно простые числа, и $2p_1 \ \vdots \ (p_1-1)$. Значит, $2 \ \vdots \ (p_1-1)$. Следовательно, или $p_1=2$ (невозможно, т.к. числа различны), или $p_1=3$. Единственное возможное произведение двух чисел, удовлетворяющее условию задачи, это $2 \cdot 3=6$.

Рассмотрим произведение трех сомножителей: $2 \cdot 3 \cdot p_2$, где $p_2 > 3 - $ простое число.Согласно приведенному выше алгоритму, имеем единственную возможность: $q=3$ и $p_3=7$. Получили единственное возможное произведение трех чисел, удовлетворяющее условию задачи: $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Перейдем к формированию произведения четерех чисел. Имеем следующие возможности:
1) $p_4=2 \cdot 7 +1 =15 -$ не является простым числом;
2) $p_4=2 \cdot 3 \cdot 7 +1 = 43 - $ действительно простое число, значит, $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 43 = 1806$ - единственное возможное произведение четырех чисел, удовлетворяющее условию задачи.

Далее, определяем $p_5$:
1) $p_5=2 \cdot 3 \cdot 43 +1 = 259 = 7 \cdot 37 - $ не подходит,
2) $p_5=2 \cdot 7 \cdot 43 +1 = 603 = 3 \cdot 201 - $ не подходит,
3) $p_5=2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 43 +1 = 1807 = 13 \cdot 139 - $ не подходит.
Увеличить число сомножителей не удается.
Ответ: 6, 42, 1806.

?   При каком наименьшем натуральном $n$ число $2009!$ не делится на $n^n$?

Решение. Среди чисел $1, \ 2, \dots, 2009$ каждое число $n \le 2009$ имеет конечное число кратных ему чисел.
Тот факт, что число $2009!$ делится на $n^n$ означает, что число $n$ имеет среди чисел $1, \ 2, \dots, n-1, \ n+1, \dots, 2009$ не менее $n-1$ чисел, ему кратных.
Если число $n$ составное, то число $n^n$ может быть составлено не только из чисел, ряда кратных именно $n$.
Значит, мы ищем простое число $n$, не имеющее достаточного числа кратных ему чисел указанного ряда:
$43^2=1849 < 2009,$
$47^2=2209 > 2009$ - то, что нужно.
Ответ: 47.

?   Решите уравнение $3^m+4^n=5^k$ в натуральных числах.

Решение из журнала Квант (4/1998):
Правая часть уравнения при делении на $3$ должна давать тот же остаток, что и левая, т.е. $1$. Поэтому $k -$ четное.
Аналогично, левая часть уравнения делится на $4$ с остатком $1$, поэтому число $m$ тоже четное.
Обозначив $k=2t$, имеем $5^t-2^n=3^u, 5^k+2^n=3^v$.  Поэтому $u=0, v=m=2r$. Значит, $1+2^{n+1}=3^{2r}$, откуда $(3^r-1)(3^r+1)=2^{n+1}.$
Получили $3^r+1=2^q, 3^{2r}-1=2^p, 2^q-2^p=2.$ Откуда $p=1, r=1, n=2, m=2r=2, k=2.$
Ответ: $m=n=k=2$.

Источник задач: Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика / авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под. ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: АСТ: Астрель, 2010. — 93, [3] с. — (Федеральный институт педагогических измерений).


Коммерческое использование материалов запрещено. Ссылка на первоисточник обязательна.

Ждем ваши вопросы, замечания, пожелания! Адрес для связи: pmpu-spbu@mail.ru

Последние изменения: 08.11.2011 20:49